Question

1．如圖所示，MN、PQ為光滑的平行直導軌，導軌與水平面成θ角放置，導軌間距為L，M、P兩點間接有阻值為R的電阻．一根質量為m、阻值為R的均勻直金屬桿ab放在兩導軌上，并與導軌垂直．導軌處在勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向上，導軌和金屬桿接觸良好，導軌的電阻不計．現(xiàn)讓ab桿由靜止開始沿導軌下滑．經(jīng)過t時間，ab桿達到最大速度v_m，求：
（1）勻強磁場的磁感應強度大�。�
（2）t時間內ab桿下滑的距離大�。�
（3）t時間內回路中產(chǎn)生的焦耳熱為多少？

Answer 1

分析 （1）當ab桿受到的安培力大小等于桿的重力沿斜面的分力時，ab桿達到最大速度v_m，根據(jù)這個條件列式，求出磁感應強度的大��；
（2）利用能量守恒定律列式，求出t時間內ab桿下滑的距離大小；
（3）利用（1）和（2）的結論代入焦耳熱的計算公式求出t時間內回路中產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）當ab桿受到的安培力大小等于桿的重力沿斜面的分力時，ab桿達到最大速度v_m
即F_安=BIL=mgsinθ
而感應電流I=$\frac{E}{R+R}$
感應電動勢E=BLv_m
解得勻強磁場的磁感應強度B=$\sqrt{\frac{2mgRsinθ}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；
（2）設ab桿下滑的距離大小為x
而平均感應電流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+R}$
平均感應電動勢$\overline{E}=\frac{△Φ}{t}=\frac{B•△S}{t}=\frac{BLx}{t}$
則下滑過程中安培力做的功為W=$-B\overline{I}Lx$=$-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}^{2}}{2Rt}$
在整個下滑過程中，由能量守恒與微元法，則有：
mgsinθ•x+W=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
解得x=$\frac{{v}_{m}^{2}}{gsinθ}$；
（3）由（1）可知B=$\sqrt{\frac{2mgRsinθ}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；由（2）可知x=$\frac{{v}_{m}^{2}}{gsinθ}$
故t時間內回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q=-W=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}^{2}}{2Rt}$=$\frac{m{v}_{m}^{3}}{gtsinθ}$
答：（1）勻強磁場的磁感應強度大小為$\sqrt{\frac{2mgRsinθ}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；
（2）t時間內ab桿下滑的距離大小為$\frac{{v}_{m}^{2}}{gsinθ}$；
（3）t時間內回路中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{m{v}_{m}^{3}}{gtsinθ}$；

點評 本題考查電磁感應的功能關系，解題的關鍵是找到ab桿達到最大速度v_m的臨界條件，計算出磁感應強度，再利用功能關系求出下滑的距離大小和焦耳熱．