Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處有一放射源，向四周均勻發(fā)射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶電粒子．在放射源右邊有一很薄的擋板，擋板與xoy平面交線的兩端M、N與原點(diǎn)O正好構(gòu)成等腰直角三角形．已知帶電粒子的質(zhì)量為m，帶電量為q，速度為υ，MN的長(zhǎng)度為L(zhǎng)．（不計(jì)帶電粒子的重力）
（1）若在y軸右側(cè)加一平行于x軸的勻強(qiáng)電場(chǎng)，要使y軸右側(cè)所有運(yùn)動(dòng)的粒子都能打到擋板MN上，則電場(chǎng)強(qiáng)度E₀的最小值為多大？在電場(chǎng)強(qiáng)度為E₀時(shí)，打到板上的粒子動(dòng)能為多大？
（2）若在整個(gè)空間加一方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要使板右側(cè)的MN連線上都有粒子打到，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度不能超過(guò)多少（用m、υ、q、L表示）？若滿足此條件，放射源O向外發(fā)射出的所有帶電粒子中有幾分之幾能打在板的左邊？

Answer 1

分析：（1）要使y軸右側(cè)所有運(yùn)動(dòng)粒子都能打在 MN板上，其臨界條件為：沿y軸方向運(yùn)動(dòng)的粒子作類平拋運(yùn)動(dòng)，且落在M或N點(diǎn)．根據(jù)牛頓第二定律求出電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值，根據(jù)動(dòng)能定理求解打到板上粒子的動(dòng)能．
（2）加勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，粒子沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)軌跡以O(shè)′為圓心同時(shí)過(guò)M、N兩點(diǎn)時(shí)，軌跡直徑最小，得到粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由牛頓第二定律求出B的最大值．從O點(diǎn)向第四象限發(fā)射出的粒子均能打在MN板的左側(cè)，占發(fā)射粒子總數(shù)的

1

4

解答：解：（1）由題意知，要使y軸右側(cè)所有運(yùn)動(dòng)粒子都能打在MN板上，其臨界條件為：沿y軸方向運(yùn)動(dòng)的粒子作類平拋運(yùn)動(dòng)，且落在M或N點(diǎn)．
則M O′=

1

2

L=υt…①
加速度a=

qE0

m

…②
OO′=

1

2

L=

1

2

at²…③
解①②③式得
E₀=

4mv2

qL

…④
由動(dòng)能定理知
qE₀×

1

2

L=E_k-

1

2

mv2…⑤
解④⑤式得：
E_k=

5

2

mv2
（2）由題意知，要使板右側(cè)的MN連線上都有粒子打到，粒子軌跡直徑的最小值為MN板的長(zhǎng)度L．
R₀=

1

2

L=

mv

qB0

B₀=

2mv

qL

 
放射源O發(fā)射出的粒子中，打在MN板上的粒子的臨界徑跡如圖所示．
∵OM=ON，且OM⊥ON
∴OO₁⊥OO₂
∴υ₁⊥υ₂
∴放射源O放射出的所有粒子中只有

1

4

打在MN板的左側(cè)．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E₀的最小值為

4mv2

qL

；在電場(chǎng)強(qiáng)度為E₀時(shí)，打到板上的粒子動(dòng)能為

5

2

mv2；
（2）放射源O放射出的所有粒子中只有

1

4

打在MN板的左側(cè)．

點(diǎn)評(píng)：本題中粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解法研究，在磁場(chǎng)中要通過(guò)畫(huà)出軌跡，確定臨界條件求解磁感應(yīng)強(qiáng)度．