Question

7．2016年8月16日凌晨1時40分，全球首顆量子衛(wèi)星-“墨子號”，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，僅憑此次發(fā)射，中國將在防黑客通訊技術方面領先于全球．已知該衛(wèi)星最后定軌在離地面500km的預定圓軌道上，已知地球的半徑為6400km，同步衛(wèi)星距離地面的高度約為36000km，已知引力常量G=6.67×10-¹¹N•m²/kg²，地球自轉(zhuǎn)的周期T=24h，下列說法正確的是（　　）

• A． “墨子號”衛(wèi)星的發(fā)射速度可能為7.8km/s
• B． 在相等的時間內(nèi)，“墨子號”衛(wèi)星通過的弧長約為同步衛(wèi)星通過弧長的2.5倍
• C． 由上述條件不能求出地球的質(zhì)量
• D． 由上述條件不能求出“墨子號”衛(wèi)星在預定軌道上運行的速度大小

Answer 1

分析 1、墨子號衛(wèi)星的軌道半徑r比地球半徑大，故中衛(wèi)星的線速度一定小于第一宇宙速度7.9km/s，但發(fā)射速度要大于7.9km/s．
2、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$，得$a=\frac{GM}{{r}^{2}}$，由此可知，半徑越大，加速度越小．
3、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，所以中軌道衛(wèi)星的周期T₁與靜止軌道衛(wèi)星的周期T₂之比為$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{（\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}）^{3}}$，代入數(shù)據(jù)可以計算得到中軌道衛(wèi)星的周期．

解答 解：A、7.9km/s是第一宇宙速度，所以墨子號衛(wèi)星的發(fā)射速度不可能為7.8km/s，它會落向地面，不可能成為地球的衛(wèi)星，故A錯誤；
B、墨子號衛(wèi)星的軌道半徑為${r}_{1}^{\;}=R+{h}_{1}^{\;}=500km+6400km=6900km$
同步衛(wèi)星的軌道半徑${r}_{2}^{\;}=R+{h}_{2}^{\;}=6400km+36000km=42400$km
根據(jù)線速度公式$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，墨子號衛(wèi)星的線速度和同步衛(wèi)星的線速度之比為：$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}^{\;}}{{r}_{1}^{\;}}}=\sqrt{\frac{42400}{6900}}=\sqrt{6}$
弧長△s=v•△t，相同時間內(nèi)墨子號通過的弧長與同步衛(wèi)星通過的弧長之比為：$\frac{△{s}_{1}^{\;}}{△{s}_{2}^{\;}}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\sqrt{6}$≈2.5，故B正確；
C、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，得M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．根據(jù)同步衛(wèi)星的半徑與周期可以求出地球的質(zhì)量．故C錯誤；
D、根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，根據(jù)地球的質(zhì)量與“墨子號”衛(wèi)星軌道半徑，可以求出“墨子號”衛(wèi)星在預定軌道上運行的速度大小．故D錯誤．
故選：B

點評 地球衛(wèi)星圍繞地球做勻速圓周運動，圓心是地球的地心，萬有引力提供向心力，合理選擇公式解決問題；靜止衛(wèi)星即同步衛(wèi)星有四個“定”：定軌道、定高度、定速度、定周期．