Question

19．如圖所示，AB是傾角為θ=30°的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點與圓弧相切，圓弧的半徑為R，一個質(zhì)量為m的物體（可以看做質(zhì)點）從直軌道上的P點由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道間做往返運動．已知P點與圓弧的圓心O等高，物體與軌道AB間的動摩擦因數(shù)為μ．求：
（1）物體做往返運動的整個過程中在AB軌道上通過的總路程；
（2）最終當物體通過圓弧軌道最低點E時，對圓弧軌道的壓力；
（3）為使物體能順利到達圓弧軌道的最高點D，釋放點距B點的距離L′至少多大．

Answer 1

分析 （1）滑動摩擦力做功與總路程有關(guān)，對整個過程，利用動能定理求總路程；
（2）對B→E過程，由動能定理求出物體通過E點時的速度，再由牛頓運動定律求物體對軌道的壓力；
（3）物體剛好到最高點D時，由重力充當向心力，由牛頓第二定律求出D點的速度，再由動能定理求解即可．

解答 解：（1）對整體過程，由動能定理得：
   mgR•cosθ-μmgcosθ•s=0        
所以物體在AB軌道上通過的總路程  s=$\frac{R}{μ}$．
（2）最終物體以B（還有B關(guān)于OE的對稱點）為最高點，在圓弧底部做往復運動，對B→E過程，由動能定理得：
  mgR（1-cos θ）=$\frac{1}{2}$mv_E²  ①
在E點，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$ ②
由①②得 F_N=（3-2cos θ）mg=$（3-\sqrt{3}）mg$
（3）物體剛好到D點，由牛頓第二定律有：
  mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$  ③
對全過程由動能定理得：
  mgL′sin θ-μmgcos θ•L′-mgR（1+cos θ）=$\frac{1}{2}$mv_D² ④
由③④得：L′=$\frac{3+2cosθ}{2（sinθ-μcosθ）}$•R=$\frac{{（3+\sqrt{3}）R}}{{1-\sqrt{3}μ}}$
答：
（1）物體做往返運動的整個過程中在AB軌道上通過的總路程是$\frac{R}{μ}$；
（2）最終當物體通過圓弧軌道最低點E時，對圓弧軌道的壓力是$（3-\sqrt{3}）mg$；
（3）為使物體能順利到達圓弧軌道的最高點D，釋放點距B點的距離L′至少是$\frac{{（3+\sqrt{3}）R}}{{1-\sqrt{3}μ}}$．

點評 本題綜合應用了動能定理求摩擦力做的功、圓周運動及圓周運動中能過最高點的條件，要知道滑動摩擦做功與總路程有關(guān)，小球剛到圓軌道最高點時重力等于向心力．