Question

【題目】如圖所示，一垂直放置的高為15.0cm的圓柱形中空玻璃容器，其底部玻璃較厚，底部頂點(diǎn)A點(diǎn)到容器底平面中心B點(diǎn)的距離為8.0cm，底部上沿為一凸起的球冠，球心C點(diǎn)在A點(diǎn)正下方，球的半徑為1.75cm．已知空氣和容器玻璃的折射率分別是n0=1.0和n1=1.56．只考慮近軸光線(xiàn)成像。 已知：當(dāng)λ《1時(shí)，sinλ＝λ．

(1)當(dāng)容器內(nèi)未裝任何液體時(shí)，求從B點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)通過(guò)平凸玻璃柱，在玻璃柱對(duì)稱(chēng)軸上所成的像的位置，并判斷像的虛實(shí)；

(2)當(dāng)容器內(nèi)裝滿(mǎn)折射率為1.30的液體時(shí)，求從B點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)通過(guò)平凸玻璃柱的上表面折射后所成像點(diǎn)的位置，并判斷這個(gè)像的虛實(shí)。

Answer 1

【答案】(1) 位置在C點(diǎn)正上方9.75cm處或在B點(diǎn)正上方16.0cm處，實(shí)像(2)虛像，在C點(diǎn)正下方26.25cm處或在B點(diǎn)正下方20.0cm處

【解析】

(1)容器底部凸面兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別是n1=1.56和n0=1.0。如圖,由B點(diǎn)發(fā)出的經(jīng)過(guò)球心C的光線(xiàn)BA經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A后,方向不變,進(jìn)入空氣中;由B點(diǎn)發(fā)出的與BA成α角的另一條光線(xiàn)BD在D點(diǎn)折射,設(shè)折射角為φ,并與前一條出射光線(xiàn)交于E點(diǎn),E點(diǎn)即B點(diǎn)的像點(diǎn)的位置。

由折射定律和幾何關(guān)系得

nlsinθ=n0sinφ①

γ=α+θ②

φ=γ+β③

在三角形BCD和三角形CDE中,由正弦定理可得

④

　�、�

由于只考慮近軸光線(xiàn)成像,所以α、β、θ、φ都是小角度,①④⑤式可寫(xiě)為

n1θ=n0φ　　　⑥

θ=α　　　�、�

φ=β　�、�

由⑥⑦式可得

α+θ=φ(1+)＝0.82φ＜φ　⑨

所考慮的光線(xiàn)是會(huì)聚的,故所成的像為實(shí)像.由②③⑥⑦⑧式可得

將題給數(shù)據(jù)代入上式得

1.75cm=9.75cm�、�

由⑨式和題給數(shù)據(jù)得

=(8.0-1.75+9.75)cm=16.0cm⑩

B點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)通過(guò)平凸玻璃柱,在玻璃柱對(duì)稱(chēng)軸上所成的像點(diǎn)的位置在C點(diǎn)正上方9.75cm處或在B點(diǎn)正上方16.0cm處.

(2)容器底部凸面兩側(cè)介質(zhì)的折射率分別是nl=1.56和n2=1.30.如圖,由B點(diǎn)發(fā)出的經(jīng)過(guò)球心C的光線(xiàn)BA經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A后,方向不變,進(jìn)入液體中;由B點(diǎn)發(fā)出的與BA成α角的另一條光線(xiàn)BD在D點(diǎn)折射,設(shè)折射角為φ,并與前一條出射光線(xiàn)交E點(diǎn),E點(diǎn)即B點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)第一次折射后所成像點(diǎn)的位置.

由折射定律和幾何關(guān)系可得

nlsinθ=n2sinφ(11)

γ=α+θ(12)

γ=φ+β(13)

在三角形BCD和三角形CDE中,由正弦定理可得

(14)

(15)

由于只考慮近軸光線(xiàn)成像,所以α、β、θ、φ都是小角度,(11)(14)(15)式可寫(xiě)為

n1θ=n2φ　(16)

θ=α　(17)

φ=β　(18)

由(16)(17)式可得

α+θ=φ(1+)＝1.07φ>φ　(19)

所考慮的光線(xiàn)是發(fā)散的,故所成的像為虛像.由(12)(13)(16)(17)(18)式得

將有關(guān)數(shù)據(jù)代入上式可得:

1.75cm=26.25cm(20)

由(19)式和題給數(shù)據(jù)得

=(1.75+26.25-8.0)cm=20.0cm(21)

B點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)通過(guò)平凸玻璃柱,第一次折射后所成的像點(diǎn)的位置在C點(diǎn)正下方26.25cm處或在B點(diǎn)正下方20.0cm處.