Question

1．如圖所示，一固定斜面體，其斜邊與水平底邊的夾角θ=37°，BC為一段光滑圓弧軌道，DE為半圓形光滑軌道，兩圓弧軌道均固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜 止在光滑的地面上，右端緊靠C點，上表面所在平面與兩圓弧分別相切于C、D兩點．一物塊被輕放在斜面上F點由靜止釋放，物塊離開斜面后恰好在B點沿切線進入B段 圓弧軌道，再經(jīng)C點滑上滑板，滑板運動到D點時被牢固粘連．物塊可視為質(zhì)點，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量M=2m，DE半圓弧軌道和BC圓弧軌道的半徑均為R，斜面體水平底邊與滑板上表面的高度差H=2R，板長l=6.5R，板左端到D點的距離L在R＜L＜5R范圍內(nèi)取值，F(xiàn)點距A點的距離s=12.5R，物塊與斜面、物塊與滑板間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度取g．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：（結(jié)果用字母 m、g、R、L 表示）

（1）求物塊滑到A點的速度大��；
（2）求物塊滑到C點時所受圓弧軌道的支持力的大小；
（3）試討論物塊從滑上滑板到離開左端的過程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系； 并判斷物塊能否滑到DE軌道的中點．

Answer 1

分析 （1）對F到A的過程中，運用動能定理求出物塊滑到A點的速度大�。�
（2）根據(jù)機械能守恒定律求出到達C點的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小．
（3）根據(jù)動量守恒定律求出物塊和 滑板達到的共同速度，結(jié)合動能定理分別求出物塊和滑板的位移大小，判斷出物塊與滑板達到相同速度時，物塊未離開滑板，
討論當2R≤L＜5R和2R≤L＜5R，得出滑塊的運動規(guī)律，結(jié)合動能定理分析判斷．

解答 解：（1）設(shè)物塊滑動A點的速度為v₁，根據(jù)動能定理有：
mgsinθ×12.5R-μmgcosθ×12.5R=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{5gR}$．
（2）設(shè)物塊滑動C點的速度為v₂，根據(jù)機械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=mg2R+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{2}=3\sqrt{gR}$．
根據(jù)牛頓第二定律得，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，
解得${F}_{N}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}+mg=10mg$．
（3）物塊從C滑上滑板后開始做勻減速運動，此時滑板開始做勻加速直線運動，當物塊與滑板達到共同速度v₃時，二者開始做勻速運動．
規(guī)定v₂的方向為正方向，根據(jù)動量守恒定律得，mv₂=（m+M）v₃，
解得${v}_{3}=\sqrt{gR}$．
對物塊根據(jù)動能定理有：-μmgl₁=$\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
對滑板根據(jù)動能定理有：$μmg{l}_{2}=\frac{1}{2}M{{v}_{3}}^{2}-0$，
解得l₁=8R，l₂=2R，
物塊相對滑板的位移△l=l₂-l₁＜l，
即物塊與滑板達到相同速度時，物塊未離開滑板，
討論：①當R＜L＜2R，物塊在滑板上一直勻減速運動至D，運動的位移為6.5R+L，克服摩擦力做功W_f=μmg（6.5R+L）=$\frac{1}{4}mg（13R+2L）$．
設(shè)滑上D點的速度為v_D，根據(jù)動能定理有：$-μmg（6.5R+L）=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$-$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
解得$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=\frac{1}{2}mg（2.5R-L）＜mgR$，
所以物塊不可能滑到DE軌道的中點．
②當2R≤L＜5R，物塊先勻減速運動8R，然后勻速運動L-2R，在勻減速運動0.5R，克服摩擦力做功${W}_{f}=μmg（8R+0.5R）=\frac{17}{4}mgR$．
設(shè)滑上D點的速度為v_D′，根據(jù)動能定理有：$-μmg（8R+0.5R）=\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
解得$\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}=\frac{1}{4}mgR＜mgR$．
所以 物塊不可能滑到DE的中點．
答：（1）物塊滑到A點的速度大小為$\sqrt{5gR}$；
（2）物塊滑到C點時所受圓弧軌道的支持力的大小為10mg；
（3）當R＜L＜2R，克服摩擦力做功為$\frac{1}{4}mg（13R+2L）$..不能到達DE的中點．
當2R≤L＜5R，克服摩擦力做功為$\frac{17}{4}mgR$．不能到達DE的中點．

點評 本題考查動量守恒和機械能守恒以及有摩擦的板塊模型中克服摩擦力做的功．判斷物塊與滑板在達到相同共同速度時，物塊未離開滑板是關(guān)鍵，是一道比較困難的好題．