Question

20．某游戲裝置放在豎直平面內(nèi)，如圖所示，裝置由粗糙拋物線形軌道AB和光滑的圓弧軌道BCD構(gòu)成，控制彈射器可將穿在軌道上的小球以不同的水平初速度由A點(diǎn)射入，最后小球?qū)⒂蓤A軌道的最高點(diǎn)D水平拋出，落入卡槽中得分，圓弧半徑為R，O′為圓弧的圓心，C為圓弧軌道最低點(diǎn)，拋物線軌道上A點(diǎn)在坐標(biāo)軸的原點(diǎn)O上，軌道與圓弧相切于B點(diǎn)，拋物線軌道方程為y=ax²（0＜a＜$\frac{1}{4R}$），∠BO′C=θ，x軸恰好將半徑O′D分成相等的兩半，交點(diǎn)為P，x軸與圓弧交于Q點(diǎn)，則：
（1）將小球以某一初速度水平由A點(diǎn)射入軌道，小球沿軌道運(yùn)動(dòng)到與A等高處Q，速度減為0，試求小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度；
（2）由（1）得到的B點(diǎn)的速度，能否求出小球在A點(diǎn)射入的速度，如果能請求出v₀，不能，請說明理由；
（3）試求在多次彈射小球的過程中，機(jī)械能損失最小的一次，小球在最高點(diǎn)D對軌道的作用力與最低點(diǎn)C對軌道的作用力的比值．

Answer 1

分析 （1）BCD是光滑的軌道故從B到Q的過程中只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得小球在B點(diǎn)的速度即可；
（2）從A到B的過程中只重力和阻力做功，因?yàn)樽枇κ亲兞�，不能求出阻力做的功，故無法求得小球在A點(diǎn)的初速度；
（3）要求小球機(jī)械能損失最小，則由題意可知，當(dāng)小球從A點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，與拋物線重合時(shí)，小球損失的機(jī)械能最小，據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得小球在B點(diǎn)時(shí)速度，再由動(dòng)能定理和小球在最高點(diǎn)最低點(diǎn)時(shí)豎直方向的合外力提供小球圓周運(yùn)動(dòng)向心力分析求解即可．

解答 解：（1）小球從B到Q的過程中在光滑的圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)，全過程中只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-mg（Rcosθ+\frac{R}{2}）=0-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得小球在B點(diǎn)時(shí)的速度：v_B=$\sqrt{gR（1+2cosθ）}$
（2）不能求出，因?yàn)閽佄锞�軌道粗糙，小球在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受摩擦力是變力，故不能求出摩擦力對小球做的功，所以無法由動(dòng)能定理求得小球在A點(diǎn)時(shí)的速度；
（3）由題意可知，要使小球損失的機(jī)械能最小，即小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中無摩擦力做功，所以當(dāng)小球做平拋運(yùn)動(dòng)軌道恰好與拋物線軌道重合時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)過程中無摩擦力做功，所以有：
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
x=v₀t
$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得$y=\frac{g}{2{v}_{0}}{x}^{2}$=ax²
所以：${v}_{0}=\sqrt{\frac{g}{2a}}$
小球從A到C，只有重力做功有：
$mg（R+\frac{R}{2}）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球在最低點(diǎn)豎直方向的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：${F}_{NC}-mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
聯(lián)列兩式可解得：${F}_{NC}=4mg+\frac{mg}{2aR}$
從A到D過程中只有重力做功有：
$-mg\frac{R}{2}=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{D}=\sqrt{\frac{g}{2a}-gR}$
因?yàn)?0＜a＜\frac{1}{4R}$
所以：${v}_{D}＞\sqrt{gR}$
小球在D點(diǎn)有：${F}_{ND}+mg=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
可得：${F}_{ND}=\frac{mg}{2aR}-2mg$
所以可得：$\frac{{F}_{ND}}{{F}_{NC}}=\frac{1-4aR}{1+8aR}$
答：（1）將小球以某一初速度水平由A點(diǎn)射入軌道，小球沿軌道運(yùn)動(dòng)到與A等高處Q，速度減為0，試求小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度為$\sqrt{gR（1+2cosθ）}$；
（2）由（1）得到的B點(diǎn)的速度，不能求出小球在A點(diǎn)射入的速度，因?yàn)椴荒芮蟪鯝D段摩擦力這個(gè)變力所做的功；
（3）試求在多次彈射小球的過程中，機(jī)械能損失最小的一次，小球在最高點(diǎn)D對軌道的作用力與最低點(diǎn)C對軌道的作用力的比值為$\frac{1-4aR}{1+8aR}$．

點(diǎn)評 本題屬于動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合型的綜合題，能根據(jù)題中要求在拋物線段機(jī)械能損失最小判斷出小球做平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡與拋物線重合時(shí)無摩擦力做功，這是解決第三問的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．