Question

12．我國的月球探測計劃“嫦娥工程”分為“繞、落、回”三步．“嫦娥三號”的任務是“落”． 2013年12月2日，“嫦娥三號”發(fā)射，經過中途軌道修正和近月制動之后，“嫦娥三號”探測器進入繞月的圓形軌道I．12月12日衛(wèi)星成功變軌，進入遠月點P、近月點Q的橢圓形軌道II．如圖所示．2013年12月14日，“嫦娥三號”探測器在Q點附近制動，由大功率發(fā)動機減速，以拋物線路徑下降到距月面100米高處進行30s懸停避障，之后再緩慢豎直下降到距月面高度僅為數米處，為避免激起更多月塵，關閉發(fā)動機，做自由落體運動，落到月球表面．
（1）關閉發(fā)動機時距月球表面的高度為h測得自由落體運動時間為t求月球表面的重力加速度．
（2）要實現“嫦娥三號”返回地球的目的需知道月球的第一宇宙速度．如果月球半徑為R請計算月球表面第一宇宙速度．
（3）在軌道I繞月做勻速圓周運動時用激光測距儀測得軌道I距月球表面的高為H，已知月球的半徑為R，計算“嫦娥三號”在軌道I勻速圓周運動時的周期．

Answer 1

分析 （1）根據自由落體運動的位移公式$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$列式求解重力加速度g；
（2）第一宇宙速度為近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，根據重力等于向心力列式求解第一宇宙速度；
（3）衛(wèi)星的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）根據自由落體運動的位移公式$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，有：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）月球表面衛(wèi)星的重力等于萬有引力，故：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$；
解得：v₁=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{\frac{2hR}{{t}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
（3）高為H的衛(wèi)星，軌道半徑為R+H，根據牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+H）}^2}}}=m{（\frac{2π}{T}）^2}（R+H）$；
在月球表面，重力等于萬有引力，故：
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
由第一問解得：
g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
聯立解得：
T=2π$\sqrt{\frac{（R+H）^{3}{t}^{2}}{2h{R}^{2}}}$
答：（1）月球表面的重力加速度為$\frac{2h}{{t}^{2}}$．
（2）月球表面第一宇宙速度為$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$．
（3）“嫦娥三號”在軌道I勻速圓周運動時的周期為2π$\sqrt{\frac{（R+H）^{3}{t}^{2}}{2h{R}^{2}}}$．

點評 本題是通過自由落體運動測量月球表面的重力加速度，然后根據月球的衛(wèi)星的萬有引力等于向心力列式分析，不難．