Question

在光滑的圓錐頂端用長為L的細(xì)繩懸有質(zhì)量為m的小球，圓錐的頂角為2θ，當(dāng)圓錐和球一起以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動時，球緊壓錐面，此時繩的張力為______；要使小球離開錐面，則小球和錐面的角速度至少應(yīng)為______.

Answer 1

解析：如圖所示，小球受三個力作用：重力mg、錐面支持力F_N（垂直錐面向上）和繩的拉力F_t，在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，圓心在O′點，半徑為r=Lsinθ.將F_N、F_t沿水平方向和豎直方向正交分解，應(yīng)用牛頓第二定律得：

水平方向上：F_tsinθ-F_Ncosθ=mrω²；

豎直方向上：F_tcosθ+F_Nsinθ-mg=0，

以上三式聯(lián)立解得繩子的張力大小為：

F_t=m(gcosθ+Lsin²θω²)

設(shè)小球和錐面轉(zhuǎn)動的角速度為ω₀時，小球與錐面間的彈力F_N=0，此時小球即將脫離圓錐面，細(xì)繩與豎直方向的夾角仍為θ，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運動所需的向心力由重力mg和繩子的拉力F_t的合力提供：mgtanθ=m(Lsinθ)ω₀²，于是求得ω₀=

答案：m(gcosθ+Lsin²θω²)