Question

3．如圖所示，OA為平面直角坐標(biāo)系xOy第一象限內(nèi)的一條射線，其將第一象限分成Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域，OA與x軸正方向的夾角為30°，在Ⅰ區(qū)域內(nèi)存在垂直xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2×10^-5 T．在原點(diǎn)O處有一離子源，能沿y軸正方向射出速度大小不同的正離子，離子的比荷為$\frac{q}{m}$=5×10¹¹ C/kg，初速度v₀≤2×10⁶ m/s（離子的重力可忽略不計(jì)，不考慮離子間的相互作用）．
（1）求初速度v_0m=2×10⁶ m/s的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r和時(shí)間t．
（2）若在（1）中的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的某時(shí)刻，在Ⅰ區(qū)域內(nèi)再附加一個(gè)與原磁場(chǎng)同方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使離子在Ⅰ區(qū)域內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求附加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B₀．
（3）改變Ⅰ區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的大小，使所有從原點(diǎn)射出的離子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后均沿+x方向射出，求Ⅰ區(qū)域中勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力作向心力求得半徑，根據(jù)幾何關(guān)系得到中心角進(jìn)而得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）求得磁感應(yīng)強(qiáng)度最小對(duì)應(yīng)的情況然后根據(jù)幾何關(guān)系求得半徑，再由牛頓第二定律求解；
（3）求出所有粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的最大范圍，再由幾何關(guān)系求得面積．

解答 解：（1）離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力作向心力，則有$B{v}_{0m}q=\frac{m{{v}_{0m}}^{2}}{r}$，所以，$r=\frac{m{v}_{0m}}{Bq}=\frac{2×1{0}^{6}}{2×1{0}^{-5}×5×1{0}^{11}}m=\frac{1}{5}m$；
離子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πr}{{v}_{0m}}=\frac{2πm}{Bq}=\frac{2π}{2×1{0}^{-5}×5×1{0}^{11}}s=2×1{0}^{-7}πs$；
離子沿y軸正方向射入磁場(chǎng)，則如圖所示，，粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的中心角為120°，所以，運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{1}{3}T=\frac{2}{3}×1{0}^{-7}πs$；
（2）在Ⅰ區(qū)域內(nèi)再附加一個(gè)與原磁場(chǎng)同方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使離子在Ⅰ區(qū)域內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，粒子的運(yùn)動(dòng)方向不變，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在原來的半徑上，則如圖所示，

疊加磁場(chǎng)后磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，仍由洛倫茲力作向心力，所以，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑$R=\frac{m{v}_{0m}}{B′q}$，則B′越小，R越大；
當(dāng)半徑與OA垂直時(shí)半徑最大，此時(shí)，$2R=r-rsin30°=\frac{1}{2}r$，$R=\frac{1}{4}r$，$B′=\frac{m{v}_{0m}}{qR}=\frac{4m{v}_{0m}}{qr}=4B$；
所以，附加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B₀為3B=6×10^-5T；
（3）所有從原點(diǎn)射出的離子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后均沿+x方向射出，所以，所有粒子轉(zhuǎn)過中心角90°則射出點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)，則如圖所示，，
所以，Ⅰ區(qū)域中勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積$S=\frac{1}{4}π{r}^{2}-\frac{1}{2}{r}^{2}=\frac{π-2}{4}{r}^{2}=\frac{π-2}{4}×\frac{1}{25}{m}^{2}$=$\frac{π-2}{100}{m}^{2}$．
答：（1）初速度v_0m=2×10⁶ m/s的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r為$\frac{1}{5}m$，時(shí)間t為$\frac{2}{3}×1{0}^{-7}πs$．
（2）若在（1）中的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的某時(shí)刻，在Ⅰ區(qū)域內(nèi)再附加一個(gè)與原磁場(chǎng)同方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使離子在Ⅰ區(qū)域內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則附加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B₀為6×10^-5T；
（3）改變Ⅰ區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的大小，使所有從原點(diǎn)射出的離子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后均沿+x方向射出，則Ⅰ區(qū)域中勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積S為$\frac{π-2}{100}{m}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 在求解帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，若知道粒子兩個(gè)位置的速度方向，則可由半徑與速度垂直，通過求半徑的交點(diǎn)來求得圓心．