Question

17．如圖所示，一顆質(zhì)量分布均勻的星球，繞其中心軸AB自轉(zhuǎn)，O為星球的中心，AB與OP互相垂直，星球在P點(diǎn)的重力加速度是B點(diǎn)的90%，星球自轉(zhuǎn)的周期為T，萬有引力常量為G．
（1）求該星球的密度；
（2）若該星球的半徑為R，試求該星球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）兩極處的萬有引力等于物體的重力，赤道處的重力等于萬有引力與物體繞地球自轉(zhuǎn)所需的向心力之差，應(yīng)用萬有引力公式、牛頓第二定律與密度公式可以求出密度．
（2）萬有引力提供向心力，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以求出第一宇宙速度．

解答 解：（1）B位移極點(diǎn)上，物體在B處受到的萬有引力等于物體的重力，即：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
位于赤道上的物體所受萬有引力等于重力與向心力之和，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-m×0.9g=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
解得：M=$\frac{40{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，
星球的密度：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{30π}{G{T}^{2}}$；
（2）衛(wèi)星繞星球做圓周運(yùn)動(dòng)萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得第一宇宙速度：v=$\frac{2\sqrt{10}πR}{T}$；
答：（1）該星球的密度為：$\frac{30π}{G{T}^{2}}$；
（2）若該星球的半徑為R，該星球的第一宇宙速度為：$\frac{2\sqrt{10}πR}{T}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求密度、求第一宇宙速度，考查了萬有引力定律的應(yīng)用，本題關(guān)鍵是明確：赤道位置萬有引力等于重力和向心力之和，然后結(jié)合萬有引力定律公式列式求解．