Question

1．如圖1，半徑為R的圓筒形真空管中有兩個(gè)隔板把管內(nèi)分為三個(gè)區(qū)域，隔板上分別位于中心的小孔A與A’，其間距為L．區(qū)域Ⅰ中有電場(chǎng)，區(qū)域Ⅱ有沿管軸方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，區(qū)域Ⅲ中既無電場(chǎng)也無磁場(chǎng)．由陰極K連續(xù)發(fā)出的電子在區(qū)域Ⅰ中由電場(chǎng)加速，穿過小孔A成發(fā)散電子束進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ．設(shè)各個(gè)電子穿過小孔A時(shí)沿管軸方向的分速度都為v，調(diào)節(jié)區(qū)域Ⅱ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度使它等于為使在區(qū)域Ⅲ中有穿過小孔A’的發(fā)散電子束所必須的最低值，從這時(shí)開始計(jì)時(shí)且保持此最低值不變，但使磁場(chǎng)方向作周期為T的周期性正、反變化，如圖2所示．設(shè)真空管中凡碰到管壁的電子均不彈回
（1）求在區(qū)域Ⅲ中有穿過A’的發(fā)散電子束時(shí)T的最小值T_O．
（2）設(shè)T=2T_O，在圖2的時(shí)間軸上標(biāo)出區(qū)域Ⅲ中有發(fā)散電子束的時(shí)間區(qū)間
（3）進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ內(nèi)的電子束中，電子運(yùn)動(dòng)方向與管軸間的夾角最大可能值為多大？

Answer 1

分析 （1）分析題意，明確粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)可求得最小周期；
（2）根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)過程，只要粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過一個(gè)螺旋才能到達(dá)A′，則可知粒子能通過A′間的時(shí)間范圍；
（3）根據(jù)電子在磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得出對(duì)應(yīng)的半徑和周期，根據(jù)幾何關(guān)系可求得對(duì)應(yīng)的最大夾角．

解答 解：由題意可知，粒子具有沿管軸方向的磁場(chǎng)，而電子具有沿管軸的分速度和其他方向的分速度，要使電子束能到達(dá)A'點(diǎn)；則應(yīng)保證粒子最少經(jīng)過一個(gè)螺距后到達(dá)A′，則有：
T′=$\frac{L}{v}$；
若這些電子在區(qū)域II中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不到T′，它們將不能穿過A′，因此要使電子穿過A′的最小周期T₀=2T′=$\frac{2L}{v}$；
（2）如圖T=2T₀，那么每一次改變磁場(chǎng)方向后的后一個(gè)$\frac{{T}_{0}}{2}$，A′穿過A的電子將能穿過A′，即在圖中時(shí)間軸上波紋線部分所表示的時(shí)間內(nèi)，有電子穿過；
（3）設(shè)斜入射到區(qū)域II中的電子在垂直于管軸方向上的速度為v⊥，即電子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期T分別為
r=$\frac{m{v}_{⊥}}{Be}$
T′=$\frac{2πm}{Be}$
只有2r＜R的那些電子才能不與管壁碰撞而到達(dá)A′，即
$\frac{m{v}_{⊥}}{eB}$$＜\frac{B}{2}$，
v_⊥＜$\frac{eBR}{2m}$
利用T′=$\frac{2πm}{eB}$=$\frac{L}{v}$，
可消去B和到v_⊥$＜\frac{πRv}{L}$
因此穿過A′后的電子運(yùn)動(dòng)方向與管軸間的最大夾角為
θ=arctan$\frac{πR}{L}$
答：（1）在區(qū)域Ⅲ中有穿過A’的發(fā)散電子束時(shí)T的最小值T_O為$\frac{2L}{v}$；
（2）設(shè)T=2T_O，在圖2的時(shí)間軸上標(biāo)出區(qū)域Ⅲ中有發(fā)散電子束的時(shí)間區(qū)間如圖所示；
（3）進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ內(nèi)的電子束中，電子運(yùn)動(dòng)方向與管軸間的夾角最大可能值為θ=arctan$\frac{πR}{L}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查磁聚焦原理，要根據(jù)題意明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，從而確定粒子能否通過區(qū)域II，并根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可確定最大夾角．