Question

3．如圖所示，AB為固定在豎直平面內(nèi)粗糙傾斜軌道，BC為光滑水平軌道，CD為固定在豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道，且AB與BC通過一小段光滑弧形軌道相連，BC與弧CD相切．已知AB長為L=10m，傾角θ=37°，BC長s=$\frac{35}{9}$m，CD弧的半徑為R=$\frac{25}{12}$m，O為其圓心，∠COD=143°．整個(gè)裝置處在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E=1×10³N/C．一質(zhì)量為m=0.4kg電荷量為q=+3×10^-3C的物體從A點(diǎn)以初速度v_A=15m/s沿AB軌道開始運(yùn)動(dòng)．若物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，物體運(yùn)動(dòng)過程中電荷量不變．求：

（1）物體在AB軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力和電場(chǎng)力對(duì)物體所做的總功；
（2）通過計(jì)算判斷物體能否到達(dá)D點(diǎn)；
（3）物體離開CD軌道后運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的水平距離x．

Answer 1

分析 （1）勻強(qiáng)電場(chǎng)方向水平向左，物體所受的電場(chǎng)力水平向左，與重力和合力大小為F=$\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}$，求出合力與豎直方向的夾角α，sinα=$\frac{qE}{F}$，再求解重力和電場(chǎng)力對(duì)物體所做的總功；
（2）設(shè)物體能到D點(diǎn)，對(duì)物體由A到D的過程，由動(dòng)能定理求出物體到達(dá)D點(diǎn)的速度，與臨界速度$\sqrt{gR}$比較，分析能否到達(dá)D點(diǎn)；
（3）物體剛要離開軌道時(shí)軌道對(duì)物體的彈力為零，由牛頓第二定律根據(jù)動(dòng)能定理研究A到D的過程，求出物體經(jīng)過D點(diǎn)的速度．物體離開軌道時(shí)做斜上拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，由位移公式求出最高點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的水平距離x．

解答 解：（1）物體所受重力和電場(chǎng)力的合力大小為
   F=$\sqrt{（mg）^{2}+（qE）^{2}}$=5N           
合力與豎直方向的夾角為α：
  sinα=$\frac{qE}{F}$=$\frac{3}{5}$，得 α=37°    
由幾何知識(shí)得知，重力和電場(chǎng)力的合力與斜面AB垂直，所以物體在軌道AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)重力和電場(chǎng)力對(duì)物體做的總功為 W=0  
（2）D點(diǎn)為CD軌道上的等效最高點(diǎn)，設(shè)物體能到D點(diǎn)，其速度為v_D
對(duì)物體由A到D的過程，由動(dòng)能定理得
-μFL-qE（s+Rsinα）-mg（R+Rcosα）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$    
設(shè)物體剛能到D點(diǎn)時(shí)速度為v₀
由牛頓第二定律得：F=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$                    
解得 v₀＞v_D
因此物體不能到達(dá)D點(diǎn)        
（3）物體剛要離開軌道時(shí)軌道對(duì)物體的彈力為零，設(shè)此時(shí)物體位置與O點(diǎn)連線與豎直方向的夾角為β，物體速度為v
則 mgcosβ+qEsinβ=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
-μFL-qE（s+Rsinβ）-mg（R+Rcosβ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得，v=5m/s，sinβ=0.8
物體離開軌道后做斜拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)其到最高點(diǎn)的時(shí)間為t
  vsinβ=gt      t=0.4s   
物體運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)的水平距離、豎直距離分別為
  x=vcosβt+$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$-Rsinβ=$\frac{2}{15}$m
答：
（1）物體在AB軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，重力和電場(chǎng)力對(duì)物體所做的總功是0；
（2）物體不能到達(dá)D點(diǎn)；
（3）物體離開CD軌道后運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的水平距離x是$\frac{2}{15}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合研究帶電體在電場(chǎng)力和重力場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題，難點(diǎn)是確定物體離開軌道的位置，抓住此時(shí)軌道的彈力為零，由牛頓第二定律研究．