Question

6．如圖甲所示．豎直放置的金屬板A、B中間開(kāi)有小孔，小孔的連線沿水平放置的金屬板C、D的中間線．粒子源P可以連續(xù)地產(chǎn)生質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（初速不計(jì)），粒子在A、B間被加速后．再進(jìn)入金屑板C、D間偏轉(zhuǎn)并均能從此電場(chǎng)中射出．已知金屬板A、B間電壓為U₀，金屬板C、D間電壓為$\frac{2}{3}$U₀．C、D板長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，間距為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$L，在金屬板C、D右側(cè)有如圖乙所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中B₀=$\sqrt{\frac{{24m{U_0}}}{{q{L^2}}}}$，（磁場(chǎng)變化周期未知），粒子重力不計(jì)．

（1）求粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度大��；
（2）設(shè)垂直紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�方向，t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，t=$\frac{3T}{4}$時(shí)刻該粒子的速度方向恰好豎直向上，求該粒子從射入磁場(chǎng)到離開(kāi)磁場(chǎng)的總時(shí)間t_總．

Answer 1

分析 （1）設(shè)粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)瞬間的速度為v₀，對(duì)粒子加速過(guò)程由動(dòng)能定理可以求得v₀，進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及幾何關(guān)系列式即可求解C、D間的電勢(shì)差U_CD；設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，對(duì)粒子的偏轉(zhuǎn)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求出速度v大��；
（2）畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)軌跡，分析粒子運(yùn)動(dòng)情況，求出粒子每個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，進(jìn)而求出總時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)瞬間的速度為v₀，對(duì)粒子加速過(guò)程由動(dòng)能定理：$q{U}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得  ${v}_{0}=\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，豎直方向的位移：$y=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
其中加速度：$a=\frac{q{U}_{cd}}{md}$（式中d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L）          
水平位移與時(shí)間關(guān)系：L=v₀t
又依題意“恰能從D板下邊緣射出”：$y=\frac{\sqrt{3}}{6}$L
設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，對(duì)粒子的偏轉(zhuǎn)過(guò)程有$q\frac{{U}_{CD}}{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{8q{U}_{0}}{3m}}$
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，周期為：${T}_{1}=\frac{2πm}{qB}=πL•\sqrt{\frac{m}{6q{U}_{0}}}$
設(shè)粒子離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為θ，則：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：θ=30°
粒子在t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，t=$\frac{3T}{4}$時(shí)刻該粒子的速度方向恰好豎直向上，由幾何關(guān)系可知，軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為：φ=120°；
粒子沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{3T}{4}-\frac{T}{2}=\frac{T}{4}$到達(dá)P點(diǎn)，此過(guò)程對(duì)應(yīng)的時(shí)間：
${t}_{1}=\frac{T}{4}=\frac{{T}_{1}}{3}$
接著磁場(chǎng)反向，經(jīng)歷的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{3T}{2}-\frac{3T}{4}=\frac{3T}{4}={T}_{1}$，所以粒子沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一個(gè)周期 后返回P點(diǎn)，此時(shí)磁場(chǎng)再反向，粒子沿逆時(shí)針?lè)较蚱�轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)的時(shí)間：
${t}_{3}=\frac{37}{4}-\frac{3T}{2}=\frac{T}{4}=\frac{1}{3}{T}_{1}$，粒子恰好到達(dá)極板的右側(cè)，所以粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：
${t}_{總}(cāng)={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{1}{3}{T}_{1}+{T}_{1}+\frac{1}{3}{T}_{1}$=$\frac{5}{3}{T}_{1}=\frac{5πl(wèi)}{18}•\sqrt{\frac{6m}{q{U}_{0}}}$
答：（1）粒子離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的速度大小是$\sqrt{\frac{8q{U}_{0}}{3m}}$；
（2）設(shè)垂直紙面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�方向，t=$\frac{T}{2}$時(shí)刻粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，t=$\frac{3T}{4}$時(shí)刻該粒子的速度方向恰好豎直向上，該粒子從射入磁場(chǎng)到離開(kāi)磁場(chǎng)的總時(shí)間是$\frac{5πl(wèi)}{18}•\sqrt{\frac{6m}{q{U}_{0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能夠正確分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，找出偏轉(zhuǎn)的角度與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之間的關(guān)系．難度適中．