Question

7．如圖所示，將球心為O點(diǎn)、半徑為R、質(zhì)量為M的均勻?qū)嵭拇笄蝮w的左側(cè)挖去一個(gè)半徑為$\frac{R}{2}$的小球，并將該小球的球心P置于OO′連線上且與球體相切．其中O′點(diǎn)為挖去小球后空腔部分的中心，引力常量為G求大球剩余部分對(duì)P處小球的引力F₁的大小和方向．（已知球體體積公式V=$\frac{4}{3}$πR³）

Answer 1

分析 采用割補(bǔ)法，設(shè)想用一個(gè)與右側(cè)球相同的球A去將洞補(bǔ)上，則補(bǔ)上后的球整體對(duì)P球的引力減去A球?qū)�P球的引力即為大球剩余部分對(duì)P處小球的引力F₁的大�。�

解答 解：根據(jù)公式V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，挖去小球的體積是原來大球體積的$\frac{1}{8}$，故其質(zhì)量為$\frac{M}{8}$；
用一個(gè)與右側(cè)球相同的球（設(shè)為A球）去將洞補(bǔ)上，整體對(duì)球P的引力為：F=G$\frac{M•\frac{M}{8}}{（R+\frac{R}{2}）^{2}}$=$\frac{G{M}^{2}}{18{R}^{2}}$；
球A對(duì)P球的引力：$F′=G\frac{\frac{M}{8}•\frac{M}{8}}{（2R）^{2}}=\frac{G{M}^{2}}{256{R}^{2}}$；
故大球剩余部分對(duì)P處小球的引力F₁的大�。篎₁=F-F′=$\frac{119G{M}^{2}}{{2304R}^{2}}$；
方向向左；
答：大球剩余部分對(duì)P處小球的引力F₁的大小為$\frac{119G{M}^{2}}{{2304R}^{2}}$，方向向左．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵就是要對(duì)挖之前的引力和挖去部分的引力計(jì)算，而不是直接去計(jì)算剩余部分的引力，因?yàn)槟鞘且粋�(gè)不規(guī)則球體．