Question

4．現(xiàn)代化的生產(chǎn)流水線大大提高了勞動效率．如下圖為某工廠生產(chǎn)流水線上的水平傳輸裝置的俯視圖，它由傳送帶和轉(zhuǎn)盤組成．小物品從A處無初速地放到傳送帶上，運動到B處后進入勻速轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤隨其一起運動（無相對滑動），到C處被取走裝箱．已知A、B的距離L=9.0m，物品與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.2．物品在轉(zhuǎn)盤上與轉(zhuǎn)軸O的距離R=2.0m，物品與轉(zhuǎn)盤間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.8，物品在轉(zhuǎn)盤與傳送帶上的最大靜摩擦力哥視為與滑動瘴擦力大小相等．（取g=10m/s²，π=3）．
（1）要保證物品隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動，則轉(zhuǎn)盤的角速度最大為多少？
（2）現(xiàn)通過同步提高傳送帶和轉(zhuǎn)盤的速度，可縮短物品從A到C的時間，則物品從A到C最短時間為多少？

Answer 1

分析 （1）物品在轉(zhuǎn)盤上轉(zhuǎn)動時，由所受的靜摩擦力提供向心力，當(dāng)物品恰好要滑動時，靜摩擦力達到最大值，根據(jù)牛頓第二定律求出轉(zhuǎn)盤的角速度最大值．
（2）假設(shè)物品從A運動到B一直勻加速時，由位移等于平均速度乘以時間求物品在傳送帶上運動時間．再由圓周運動的規(guī)律求出物品由B運動到C的時間，從而得到總時間．

解答 解：（1）當(dāng)轉(zhuǎn)盤的角速度最大時，物品剛好發(fā)生滑動，靜摩擦力達到最大值，由牛頓第二定律得
  μ₂mg=mω²R
解得轉(zhuǎn)盤的角速度最大值ω=2rad/s
物品最大的線速度為 v₂=ωR=4m/s
（2）設(shè)物品在傳送帶上一直加速，則速度為 
  ${v}_{1}^{2}$=2aL
而 a=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g
聯(lián)立解得 v₁=6m/s
因為 v₁＞v₂，所以物品在傳送帶上先加速后勻速，所以要使物品最短時間到達C處，則傳送到轉(zhuǎn)盤時的最大速度為 v=v₂=4m/s
由 v=μ₁gt₁，L₁=$\frac{v}{2}{t}_{1}$
得 t₁=2s
物品勻速運動的時間 t₂=$\frac{L-{L}_{1}}{v}$=$\frac{5}{4}$s
進入轉(zhuǎn)盤后的時間 t₃=$\frac{πR}{v}$=$\frac{3}{2}$s
所以物品從A到C最短時間為 t=t₁+t₂+t₃=3.75s
答：
（1）轉(zhuǎn)盤的角速度最大為2rad/s．
（2）物品從A到C最短時間為3.75s．

點評 本題是多過程問題，采用程序法分析．對于傳送帶問題，關(guān)鍵在于分析物體的受力情況和運動情況．對于圓周運動問題，關(guān)鍵在于分析向心力的來源．