Question

19．如圖所示，透明球體的半徑為R，MN是一條通過球心的直線．一單色細(xì)光束AB沿平行于MN的方向射向球體，B為人射點(diǎn)，B到MN的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$R，出射光線CD與MN的交點(diǎn)為P．已知透明球體的折射率n=$\sqrt{2}$，光在真空中的傳播速度為c．（sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$）求：
（1）光在B點(diǎn)折射時(shí)的折射角；
（2）光從B點(diǎn)傳播到P點(diǎn)所用的時(shí)間．（結(jié)果可用根號(hào)表示）

Answer 1

分析 （1）連接BC，BC為折射光線，作出法線，由幾何知識(shí)確定出入射角，再折射定律求折射角．
（2）根據(jù)幾何關(guān)系得出光在透明體內(nèi)傳播的路程，由v=$\frac{c}{n}$求得光在透明體內(nèi)傳播的速度，可得到光在透明體內(nèi)傳播的時(shí)間．由幾何知識(shí)求出從C到P的距離，再求出時(shí)間，從而得到總時(shí)間．

解答 解：（1）光路圖如圖所示．
在B點(diǎn)，由幾何知識(shí)得 sini=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
得 i=45°
根據(jù)折射定律得
  n=$\frac{sini}{sinr}$
解得 r=30°
（2）BC=2Rcosr=$\sqrt{3}$R
在透明體中傳播速度為 v=$\frac{c}{n}$
光從B傳到C的時(shí)間 t₁=$\frac{BC}{v}$=$\frac{\sqrt{6}R}{c}$
由幾何關(guān)系得 α=15°，β=30°
由正弦定理得
  $\frac{CP}{sinα}$=$\frac{R}{sinβ}$
解得 CP=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$R
光從C傳到P的時(shí)間 t₂=$\frac{CP}{c}$=$\frac{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）R}{2c}$
所以光從B點(diǎn)傳播到P點(diǎn)所用的時(shí)間為 t=t₁+t₂=$\frac{（3\sqrt{6}-\sqrt{2}）R}{2c}$
答：
（1）光在B點(diǎn)折射時(shí)的折射角是30°．
（2）光從B點(diǎn)傳播到P點(diǎn)所用的時(shí)間為$\frac{（3\sqrt{6}-\sqrt{2}）R}{2c}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是光的折射定律和幾何知識(shí)的綜合，要在作出光路圖的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求相關(guān)角度和距離，對(duì)數(shù)學(xué)幾何的能力要求較高，要加強(qiáng)訓(xùn)練，提高解題能力．