Question

8．“嫦娥工程”是我國邁出航天深空探測第一步的重大舉措，實驗月球探測將是我國航天深空探測零的突破．已知月球半徑為R，萬有引力常量為G．若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t小球落回拋出點．根據(jù)以上所給出的條件，求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球的第一宇宙速度（環(huán)繞速度）；
（3）若飛船繞月球的運動近似看做勻速圓周運動，求飛船繞月球運動的最小周期T_min．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)豎直上拋運動的知識求出月球表面的重力加速度，再根據(jù)月球表面重力等于萬有引力列式求解．
（2）第一宇宙速度等于貼近星球表面做勻速圓周運動的線速度，根據(jù)萬有引力提供向心力求出月球的第一宇宙速度；
（3）飛船的環(huán)繞半徑等于月球半徑時有最小周期，根據(jù)萬有引力等于向心力列式求解．

解答 解：（1）在月球表面以速度v₀向上拋出小球，月球表面的重力加速度為g
v₀=$\frac{1}{2}$gt ①
由在月球表面物體的重力等于萬有引力
mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$ ②
由①、②解得：M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$
（2）在月球表面繞月球做勻速圓周運動的衛(wèi)星所需向心力由月球?qū)λ�的萬有引力來提供．
即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$
（3）飛船的環(huán)繞半徑等于月球半徑時有最小周期，
根據(jù)萬有引力定律和向心力公式：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m（$\frac{2π}{{T}_{min}}$）²R  ③
將M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$代入③式，解得
T_min=π$\sqrt{\frac{2tR}{{v}_{0}}}$
答：（1）月球的質(zhì)量M為M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$；
（2）月球的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$；
（3）若飛船繞月球的運動近似看做勻速圓周運動，飛船繞月球運動的最小周期為π$\sqrt{\frac{2tR}{{v}_{0}}}$．

點評 本題關(guān)鍵是要抓住星球表面處物體的重力等于萬有引力，求得重力加速度，運用豎直上拋運動的知識求出重力加速度，以及衛(wèi)星所受的萬有引力提供向心力進行列式求解．