Question

19．如圖為某小型企業(yè)一道工序示意圖，圖中一樓為原料車間，二樓為生產(chǎn)車間，為了節(jié)約能源，技術(shù)人員設(shè)計(jì)了一個(gè)滑輪裝置用來運(yùn)送原料和成品，在二樓生產(chǎn)的成品裝入A箱，在一樓將原料裝入B箱，而后由靜止釋放A箱，若A箱與成品的總質(zhì)量為M，B箱與原料的總質(zhì)量為m（m＜M），這樣在A箱下落的同時(shí)會(huì)將B箱拉到二樓生產(chǎn)車間，當(dāng)B箱到達(dá)二樓平臺(tái)時(shí)可被工人接住，若B箱到達(dá)二樓平臺(tái)時(shí)沒有被工人接住的話，它可以繼續(xù)上升h高度速度才能減小到零，不計(jì)繩與滑輪間的摩擦及空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）一樓與二樓的高度差H；
（2）在AB箱同時(shí)運(yùn)動(dòng)的過程中繩對(duì)B箱的拉力做功；
（3）AB箱同時(shí)運(yùn)動(dòng)過程的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）B從地面運(yùn)動(dòng)二樓平臺(tái)的過程，對(duì)M、m組成的系統(tǒng)，只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理列出方程；A落地，B繼續(xù)上升的過程，對(duì)m運(yùn)用動(dòng)能定理列出方程，聯(lián)立即可求得H；
（2）以B箱為研究對(duì)象根據(jù)動(dòng)能定理求解繩中拉力對(duì)B箱做的功；
（3）A勻加速下降的同時(shí)B勻加速上升，根據(jù)動(dòng)能定理求出A落地前瞬時(shí)的速度，再根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度公式求出AB同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：（1）以A和B組成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$mgH-mgH=\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$    ①
地后對(duì)B運(yùn)用動(dòng)能定理有：
$-mgh=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$       ②
由①②兩式可解得：H=$\frac{M+m}{M-m}h$
（2）以B為研究對(duì)象根據(jù)動(dòng)能定理有：
W$-mgH=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得繩對(duì)B做的功W=$\frac{2M}{M-m}mgh$
（3）A勻加速下降的同時(shí)B勻加速上升，加速度大小相等，故在A下降過程中的平均速度
$\overline{v}=\frac{v+0}{2}=\frac{\sqrt{2gh}}{2}$
所以AB一起運(yùn)動(dòng)的時(shí)間$t=\frac{H}{\overline{v}}=\frac{\frac{M+m}{M-m}h}{\frac{\sqrt{2gh}}{2}}$=$\frac{M+m}{M-m}\sqrt{\frac{2h}{g}}$
答：（1）一樓與二樓的高度差H為$\frac{M+m}{M-m}h$；
（2）在AB箱同時(shí)運(yùn)動(dòng)的過程中繩對(duì)B箱的拉力做功為$\frac{2M}{M-m}mgh$；
（3）AB箱同時(shí)運(yùn)動(dòng)過程的時(shí)間為$\frac{M+m}{M-m}\sqrt{\frac{2h}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題繩系統(tǒng)的問題，抓住只有重力對(duì)系統(tǒng)做功，根據(jù)動(dòng)能定理（也可以由機(jī)械能守恒）列式求解是關(guān)鍵，但要注意分過程進(jìn)行研究，準(zhǔn)確選擇研究對(duì)象．