Question

4．如圖甲所示，光滑絕緣斜面AB，高h(yuǎn)=0.1m，底端B與一塊質(zhì)量為M=2kg的均勻、水平放置的絕緣平板平滑連接，平板長(zhǎng)為L(zhǎng)=1m，其距B端0.6m處C點(diǎn)固定在高為R=0.5m的豎直支架上，支架的下端與垂直于紙面的固定轉(zhuǎn)軸O連接，平板可繞轉(zhuǎn)軸O沿順時(shí)針?lè)较蚍�轉(zhuǎn)，在支架正上方有一個(gè)水平向右的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)E．在斜面頂端A放一帶正電q=1×10^-5C的很小的物體，使其由靜止滑下，并沿平板進(jìn)入電場(chǎng)．重力加速度g取10m/s²．

（1）若小物體與平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.4，從板右端的D點(diǎn)水平飛出，要使板不翻轉(zhuǎn)，小物體質(zhì)量m₁不能超過(guò)多少？
（2）小物體取小題（1）的最大質(zhì)量，動(dòng)摩擦因數(shù)仍為μ₁=0.4，要保證小物體能從D點(diǎn)水平飛出，電場(chǎng)強(qiáng)度E的至少為多少？
（3）若另一小物體能從D點(diǎn)水平飛出，且落地點(diǎn)與D的水平距離x隨電場(chǎng)強(qiáng)度E大小變化而變化，圖乙是x²與E關(guān)系的圖象，則小物體的質(zhì)量m₂為多大？其與平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂是多大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)物體滑到D點(diǎn)，平板恰好不翻轉(zhuǎn)時(shí)物體的質(zhì)量最大，由力矩平衡條件求出質(zhì)量的最大值．
（2）當(dāng)物體恰好滑到D點(diǎn)時(shí)，速度為零，由動(dòng)能定理求解水平勻強(qiáng)電場(chǎng)E的最小值．
（3）從A到D的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理得到物體滑到D點(diǎn)時(shí)的速度v，物體從D點(diǎn)滑出后做平拋運(yùn)動(dòng)，下落高度為R，R=$\frac{1}{2}$gt²，水平位移x=vt，
聯(lián)立得到x²與E的關(guān)系，由圖象讀出斜率和截距，進(jìn)而求出小物體的質(zhì)量及其與平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)．

解答 解：（1）當(dāng)物體滑到D點(diǎn)，平板恰好不翻轉(zhuǎn)時(shí)物體的質(zhì)量最大，以O(shè)點(diǎn)為支點(diǎn)，由力矩平衡條件得：
MgL₁=m₁gL₂+μ₁m₁gR，
由題意知，L₁=0.1m，L₂=0.4m，M=2kg，R=0.5m，μ₁=0.4，
代入數(shù)據(jù)解得：m₁=$\frac{1}{3}$kg．   
（2）當(dāng)物體恰好滑到D點(diǎn)時(shí)，速度為零，由動(dòng)能定理得：
m₁gh+qEL-μ₁m₁gL=0，
則有：E=$\frac{{μ}_{1}{m}_{1}gL-{m}_{1}gh}{qL}$，
代入數(shù)據(jù)解得：E=1×10⁵N/C．
（3）A到D動(dòng)能定理得
m₂gh+qEL-μ₂m₂gL=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$，
物體做平拋運(yùn)動(dòng)的過(guò)程：
R=$\frac{1}{2}$gt²，x=vt，
聯(lián)立以上各式可解得，x²=$\frac{4EqLR}{{m}_{2}g}$+4R（h-μ₂L）
由圖象可得斜率為：
k=$\frac{2.6-0.8}{（2.8-1）×1{0}^{5}}$=1×10^-5m²N/C，
又因?yàn)閗=$\frac{4qLR}{{m}_{2}g}$，即m₂=$\frac{4qLR}{kg}$=0.2kg，
由圖象可得截距為：b=0.2 m²
又由b=4R（h-μ₂L）得，其與平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)：
解得：μ₂=$\frac{h}{L}$-$\frac{4RL}$=0.2．
答：（1）小物體質(zhì)量m₁不能超過(guò)$\frac{1}{3}$kg；
（2）要保證小物體能從D點(diǎn)水平飛出，電場(chǎng)強(qiáng)度E的至少為1×10⁵N/C；
（3）小物體的質(zhì)量m₂為0.2kg；其與平板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂是0.2．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理、平拋運(yùn)動(dòng)、力矩平衡與圖象的綜合應(yīng)用，由物理規(guī)律得到x²與E的關(guān)系式，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解有關(guān)量，有一定的難度．