Question

如圖所示，以A、B和C、D為斷點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑的地面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C兩點(diǎn)，一物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）被輕放在水平勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶上E點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)剛好與傳送帶速度相同，然后經(jīng)A點(diǎn)沿半圓軌道滑下，再經(jīng)B點(diǎn)滑上滑板，滑板運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)被牢固粘連．物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量為M=2m，兩半圓半徑均為R，板長l=6.5R，板右端到C點(diǎn)的距離L在R＜L＜5R范圍內(nèi)取值，E點(diǎn)距A點(diǎn)的距離s=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度g已知．
（1）求物塊滑到B點(diǎn)的速度大�。�
（2）求物塊滑到B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓軌道的壓力；
（3）物塊在滑板上滑動(dòng)過程中，當(dāng)物塊與滑板達(dá)到共同速度時(shí)，測(cè)得它們的共同速度為u=

uB

3

．試討論物塊從滑上滑板到離開右端的過程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系．并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）物塊從E到B點(diǎn)由動(dòng)能定理可求得到達(dá)B點(diǎn)的速度；
（2）在B點(diǎn)由牛頓第二定律求的對(duì)半圓軌道的壓力；
（3）當(dāng)達(dá)到共同速度時(shí)通過動(dòng)能定理判斷出滑塊和木板前進(jìn)的位移，然后通過討論L的大小判斷出摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系．并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點(diǎn)．

解答：解（1）設(shè)物塊滑到B點(diǎn)的速度大小為v_B，對(duì)物體從E到B過程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
μmgs+2mgR =

1

2

mv

2 B

．
解得：vB =3

gR

．
（2）物塊在B點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：FN -mg=m

v 2 B

R

．
解得：FN=m

v 2 B

R

+mg=10mg．
（3）物塊從B滑上滑板后開始作勻減速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滑板開始作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物塊與滑板達(dá)共同速度時(shí)，二者開始作勻速運(yùn)動(dòng)．由題意知它們的共同速度為：v=

vB

3

．
此過程，對(duì)物塊據(jù)動(dòng)能定理得：-μmgs1=

1

2

mv

2

-

1

2

mv

2 B

．
解得：s₁=8R．
此過程，對(duì)滑板據(jù)動(dòng)能定理得：μmgs2=

1

2

mv2-0．
解得：s₂=2R．
由此可知物塊在滑板上滑過s₁-s₂=6R時(shí)，二者就具有共同速度了．因?yàn)?R＜6.5R，所以物塊并沒有從滑板上滑下去．
討論：
當(dāng)R＜L＜2R時(shí)，物塊在滑板上一直勻減速運(yùn)動(dòng)至右端，運(yùn)動(dòng)的位移為6.5R+L，克服摩擦力做的功為：W_f=μmg（6.5R+L）=

1

4

mg(13R+2L)．
設(shè)滑上C點(diǎn)的速度為v_c，對(duì)物塊根據(jù)動(dòng)能定理得：
-μmg(6.5R+L)=

1

2

mv

2 c

-

1

2

mv

2 B

解得：

1

2

mv

2 c

=

1

2

mg(2.5R-L)＜mgR，所以物塊不可能滑到CD軌道的中點(diǎn)．
當(dāng)2R≤L＜5R時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)的勻減速運(yùn)動(dòng)8R，勻速運(yùn)動(dòng)L-2R，再勻減速運(yùn)動(dòng)0.5R，克服摩擦力做的功為：Wf=μmg(8R+0.5R)=

17

4

mgR．
-Wf=

1

2

mv

′2 c

-

1

2

mv

2 B

解得：

1

2

mv

′2 c

=

1

4

mgR＜mgR，所以物塊不能滑到CD軌道的中點(diǎn)．
答：（1）求物塊滑到B點(diǎn)的速度大小為3

gR

；
（2）求物塊滑到B點(diǎn)時(shí)對(duì)半圓軌道的壓力10mg；
（3）當(dāng)R＜L＜2R時(shí)，克服摩擦力做功為

1

4

mg(13R+2L)，不能滑到CD的中點(diǎn)；
當(dāng)2R≤L＜5R時(shí)，克服摩擦力做功為

17

4

mgR，不能滑到CD的中點(diǎn)；

點(diǎn)評(píng)：本題考查機(jī)械能守恒以及有摩擦的板塊模型中克服摩擦力做的功．判斷物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時(shí)，物塊未離開滑板是關(guān)鍵，是一道比較困難的好題．