Question

12．為了研究過山車的原理，物理小組提出了下列的設想：取一個與水平方向夾角為37°、長為L=2.0m的粗糙的傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個質量m=1kg小物塊以初速度v0=4.0m/s，從某一高處水平拋出，到A點時速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動摩擦因數μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）要使小物塊不離開軌道，并從水平軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應該滿足什么條件？
（2）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？
（3）若R=0.5m，求小物塊運動到C點時對軌道壓力多大？

Answer 1

分析 （1）從拋出點到A點做平拋運動，根據平拋運動的規(guī)律可解得落到A點時豎直方向的速度v_y與h的關系，根據豎直方向速度v_y與水平方向速度v_x的夾角之間的關系，可以解得物塊到達A點的速度，從A到B運用動能定理列方程，從B到環(huán)的最高點運用機械能守恒列方程，再根據到達最高點的臨界條件：$\frac{m{{v}_{p}}^{2}}{R}$≥mg，求半徑R．
（2）要使小物塊不離開軌道并且能夠滑回傾斜軌道AB，則小物體沿圓軌道上升的最大高度不能超過圓心，結合動能定律列式求解．
（3）BC之間是光滑的，物塊到達C的速度與到達B的速度相等，結合牛頓第二定律即可求出小物塊運動到C點時對軌道壓力．

解答 解：（1）小物塊做平拋運動，經時間t到達A處時的速度為v_A，由速度的分解知：
$cos37°=\frac{{v}_{0}}{{v}_{A}}$
所以：v_A=5m/s  
物體落在斜面上后，受到斜面的摩擦力f=μN=μmgcos37°．
小物塊做平拋運動，經時間t到達A處時，令下落的高度為h，水平分速度為v_x，豎直分速度為v_y，
$\begin{array}{l}tan{37°}=\frac{v_y}{v_x}=\frac{gt}{v_0}\\ h=\frac{1}{2}g{t^2}\end{array}$
由以上兩式得h=0.45m  
設物塊進入圓軌道最高點時有最小速度v₁，此時物塊受到的重力恰好提供向心力，令此時半徑為R₀
則：$mg=m\frac{v_1^2}{R_0}$
物塊從拋出到圓軌道最高點的過程中：$mg（h+L•sin{37°}-2{R_0}）-μmgcos{37°}•L=\frac{1}{2}mv_1^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
聯立上式，解得：R₀=0.66m．
所以要使物塊從水平軌道DE滑出，圓弧軌道的半徑R≤0.66m．
（2）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則物塊上升的高度應該小于或等于軌道半徑．根據動能定理：
$\begin{array}{l}mg（h+L•sin{37°}）-μmgcos{37°}•L-mgR=0-\frac{1}{2}mv_0^2\\ 解得：R=1.65m\end{array}$
所以要使物塊能夠滑回傾斜軌道AB，則R≥1.65m．
（3）BC之間是光滑的，物塊到達C的速度與到達B的速度相等，A到B的過程中重力和摩擦力做功，由動能定理得：
$\left.\begin{array}{l}{mg（h+L•sin37°）-μmgcos37°•L=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}}\end{array}\right.m{v}_{0}^{2}$
在C點支持力與重力的和提供向心力，所以：
${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{C}^{2}}{R}=\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$
代入數據得：F_N=76N
答：（1）要使小物塊不離開軌道，并從水平軌道DE滑出，豎直圓弧軌道的半徑應該滿足圓弧軌道的半徑R≤0.66m；
（2）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則豎直圓軌道的半徑應該滿足R≥1.65m．
（3）小物塊運動到C點時對軌道壓力為76N．

點評 此題要求熟練掌握平拋運動、動能定理、機械能守恒定律、圓周運動等規(guī)律，包含知識點多，難度較大，屬于難題．