2.如圖(甲)所示,兩個水平和傾斜光滑直導軌都通過光滑圓弧對接而成,相互平行放置,兩導軌相距L=lm,傾斜導軌與水平面成θ=30°角,傾斜導軌的下面部分處在一垂直斜面的勻強磁場區(qū)I中,I區(qū)中磁場的磁感應(yīng)強度B1隨時間變化的規(guī)律如圖(乙)所示垂直斜面向上為正值,圖中t1、t2未知.水平導軌足夠長,其左端接有理想靈敏電流計G(內(nèi)阻不計)和定值電阻R=3Ω,水平導軌處在一豎直向上的勻強磁場區(qū)Ⅱ中,Ⅱ區(qū)中的磁場恒定不變,磁感應(yīng)強度大小為B2=1T,在t=0時刻,從斜軌上磁場I區(qū)外某處垂直于導軌水平靜止釋放一金屬棒ab,棒的質(zhì)量m=0.1kg,棒的電阻r=2Ω,棒下滑時與導軌保持良好接觸設(shè)棒通過光滑圓弧前后速度大小不變,導軌的電阻不計.若棒在斜面上向下滑動的整個過程中,靈敏電流計指針穩(wěn)定時顯示的電流大小相等,t2時刻進入水平軌道,立刻對棒施一平行于框架平面沿水平且與桿垂直的外力.(g取10m/s2)求:

(1)ab棒進入磁場區(qū)I時速度V的大小;
(2)磁場區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d;
(3)棒從開始運動到剛好進入水平軌道這段時間內(nèi)ab棒上產(chǎn)生的熱量Q;
(4)若棒在t2時刻進入水平導軌后,電流計G的電流I隨時間t變化的關(guān)系如圖(丙)所示(而未知),已知t2到t3的時間為0.5s,t3到t4的時間為1s,請在圖(。┲凶鞒鰐2到t4時間內(nèi)外力大小F隨時間t變化的函數(shù)圖象.(從上向下看逆時針方向為電流正方向)

分析 (1)電流表的示數(shù)保持不變,整個下滑過程中回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢不變,可判斷出在t1時刻棒剛好進入磁場Ⅰ區(qū)域且做勻速直線運動,由平衡條件和安培力、歐姆定律、法拉第定律結(jié)合求解v;
(2)棒沒進入磁場以前做勻加速直線運動,由牛頓第二定律和運動學公式求出下滑的距離,由于棒進入磁場后產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢不變,由法拉第電磁感應(yīng)定律求出磁場區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d;
(3)ab棒進入磁場以前,由焦耳定律求出ab棒產(chǎn)生的焦耳熱.進入磁場Ⅰ的過程中,棒的重力勢能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能,由能量守恒求出ab棒產(chǎn)生的焦耳熱;
(4)根據(jù)圖線寫出I-t′方程式,由歐姆定律I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{BLv}{R+r}$,得到速度與時間的表達式,即可求出加速度,由牛頓第二定律得到外力F與時間的關(guān)系式,作出圖象.

解答 解:(1)電流表的示數(shù)不變,說明在整個下滑過程中回路的電動勢是不變的,說明在B變化時和不變時感應(yīng)電動勢大小一樣,所以可以判斷在t1時刻棒剛好進入磁場Ⅰ區(qū)域且做勻速直線運動.則
  mgsinθ-BIL=0.
又I=$\frac{{E}_{1}}{R+r}$,E1=BLv
代入數(shù)據(jù)得:V=2.5m/s
(2)沒進入磁場以前做勻加速直線運動,加速度是:
a=gsin30°=5m/s2,v=at,t1=0.5s
下滑的距離是:S1=$\frac{1}{2}$at2=0.625m
在沒進入磁場以前,由于B均勻變化,所以E2=$\frac{△B}{△t}$•Ld
又E1=BLv,
且 E1=E2
解得:d=0.625m
(3)ab棒進入磁場以前,棒上產(chǎn)生的熱量為:Q1=I2Rt1=0.25J  
取ab棒在斜軌磁場中運動為研究過程有:mgsinθ-Q2=0
解得:Q2=0.3125J   
此時,棒上產(chǎn)生的總熱量為:Q2r=$\frac{r}{R+r}$Q=0.125J 
則棒上產(chǎn)生的總熱量是:Qr=Q1+Q2r=0.375J
(4)因為E=BLV,所以剛進水平軌道時的電動勢是:E=2.5V,I0=$\frac{BLv}{R+r}$=0.5A
取t2時刻為零時刻,則根據(jù)圖線可以寫出I-t′方程式 I=0.5-t′,
又I=$\frac{BLv}{R+r}$
則得 v=2.5-5 t′.所以a1=5m/s2
由牛頓第二定律得:F+BIL=ma1.F+I=1,F(xiàn)=t′,畫出坐標系.
t3到t4的時間為1s,取t3時刻為零時刻,可寫出t3時刻后的I與時間的關(guān)系式,I″=0.5 t'',速度的表達式V″=2.5t″
則得棒運動的加速度大小a2=2.5m/s2 
依牛頓第二定律有:
F-BIL=ma2
代入上面的式子得F=0.25+0.5 t''畫在坐標系里.

答:(1)ab棒進入磁場區(qū)I時速度V的大小是2.5m/s;
(2)磁場區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d是0.625m;
(3)棒從開始運動到剛好進入水平軌道這段時間內(nèi)ab棒上產(chǎn)生的熱量Q是0.375J;
(4)作出t2到t4時間內(nèi)外力大小F隨時間t變化的函數(shù)圖象如圖所示.

點評 本題綜合了法拉第定律、歐姆定律、焦耳定律及力學中牛頓第二定律等等多個知識,關(guān)鍵能把握每個過程的物理規(guī)律,有運用數(shù)學知識處理物理問題的能力.

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