Question

6．如圖所示，MN為半徑R=0.9m，固定于豎直平面內(nèi)的四分之一光滑圓弧軌道，軌道上端點(diǎn)N切線水平，下端M豎直相切處放置豎直向上的彈簧槍，彈簧槍可發(fā)射速度不同的質(zhì)量m=0.01kg的小鋼珠．假設(shè)某次發(fā)射的鋼珠沿軌道恰好能經(jīng)過軌道上端點(diǎn)N，水平飛出后垂直傾角θ=30°的斜面AB上的某處D點(diǎn)，取g=10m/s²．求：
（1）小鋼珠到達(dá)軌道上端點(diǎn)N時(shí)速度v_N的大小；
（2）發(fā)射該鋼珠時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能E_P的大�。�
（3）鋼球落到斜面AB上D點(diǎn)時(shí)速度v_D的大小．
（4）斜面AB上D點(diǎn)到軌道上端點(diǎn)N的豎直高度h的大�。�

Answer 1

分析 （1）該鋼珠經(jīng)過N點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式，求小鋼珠到達(dá)軌道上端點(diǎn)N時(shí)速度v_N．
（2）從剛發(fā)射到鋼球到達(dá)最高點(diǎn)N的過程，由機(jī)械能守恒定律求解發(fā)射該鋼珠前彈簧的彈性勢(shì)能E_p．
（3）鋼珠從N點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由題知，鋼球落在D點(diǎn)時(shí)速度與斜面垂直，由分速度關(guān)系求速度v_D的大�。�
（4）由分速度關(guān)系求鋼球落在D點(diǎn)時(shí)豎直分速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求D點(diǎn)到N點(diǎn)的豎直高度h．

解答 解：（1）小球剛好通過上端點(diǎn)N時(shí)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得，mg=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$
解得：v_N=$\sqrt{gR}$=3m/s
（2）從剛發(fā)射到鋼球到達(dá)最高點(diǎn)N的過程，由機(jī)械能守恒定律得：
E_p=mgR+$\frac{1}{2}$mv_N²=0.01×10×0.9+$\frac{1}{2}$×0.01×9=0.135J．
（3）鋼珠從最高點(diǎn)飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，由題知，鋼球落在D點(diǎn)時(shí)速度與斜面垂直，即速度與豎直方向的夾角等于θ=30°，則   鋼球落到斜面AB上D點(diǎn)時(shí)速度為：
v_D=$\frac{{v}_{N}}{sin30°}$=6m/s
（4）鋼球落在D點(diǎn)時(shí)豎直分速度為：
v_y=v_Ncot30°=3$\sqrt{3}$m/s
由${v}_{y}^{2}$=2gh得：h=1.35m
答：（1）小鋼珠到達(dá)軌道上端點(diǎn)N時(shí)速度v_N的大小是3m/s；
（2）發(fā)射該鋼珠時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能E_P的大小是0.135J．
（3）鋼球落到斜面AB上D點(diǎn)時(shí)速度v_D的大小是6m/s．
（4）斜面AB上D點(diǎn)到軌道上端點(diǎn)N的豎直高度h的大小是1.35m．

點(diǎn)評(píng) 在N點(diǎn)，根據(jù)重力恰好提供向心力求出最高點(diǎn)的速度是突破口，要明確小球垂直撞在斜面上隱含的條件：速度與豎直方向的夾角等于斜面的傾角．