Question

3．中國首個(gè)月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”預(yù)計(jì)在2017年送機(jī)器人上月球，實(shí)地采樣送回地球，為載人登月及月球基地選址做準(zhǔn)備．設(shè)想我國宇航員隨“嫦娥”號(hào)登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實(shí)驗(yàn)儀器：A．計(jì)時(shí)表一只；B．彈簧測(cè)力計(jì)一把；C．已知質(zhì)量為m的物體一個(gè)．在飛船貼近月球表面時(shí)可近似看成繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，宇航員測(cè)量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時(shí)間為t．飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機(jī)器人利用所攜帶的儀器又進(jìn)行了第二次測(cè)量，利用上述兩次測(cè)量的物理量可以推導(dǎo)出月球的半徑和質(zhì)量．（已知引力常量為G，忽略月球的自轉(zhuǎn)的影響）
（1）說明機(jī)器人是如何進(jìn)行第二次測(cè)量的？用相應(yīng)的符號(hào)表示第二次測(cè)量的物理量，并寫出相關(guān)的物的物理關(guān)系式，
（2）試用上述兩次測(cè)量的物理量和已知物理量推導(dǎo)月球半徑和質(zhì)量的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）機(jī)器人在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時(shí)讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）靜止時(shí)讀出彈簧秤的讀數(shù)F，求出月球表面重力加速度．不考慮月球的自轉(zhuǎn)影響，根據(jù)重力近似等于月球的萬有引力，列方程得出月球表面重力加速度與月球半徑的關(guān)系式，再飛船在繞月球運(yùn)行時(shí)，由萬有引力提供飛船做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力列方程，得到月球質(zhì)量與月球半徑、飛船周期的關(guān)系式，再聯(lián)立求解月球半徑和質(zhì)量的表達(dá)式．

解答 解：（1）機(jī)器人在月球上用彈簧測(cè)力計(jì)豎直懸掛質(zhì)量為m的物體，靜止時(shí)讀出彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)為F，設(shè)月球表面重力加速度為g_月，得
mg_月=F．
（2）設(shè)月球的質(zhì)量為M，半徑為R，在月球上（忽略月球的自轉(zhuǎn)影響），可知
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$  ①
又mg_月=F，
飛船靠近月球表面繞月球運(yùn) 行時(shí)，近似認(rèn)為其軌道半徑為月球的半徑R，有$G\frac{Mm}{R^2}=m{（{\frac{2π}{T}}）^2}R$   ②
又T=$\frac{t}{N}$ ③
解得月球的半徑．R=$\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}=\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}Nm}$
月球的質(zhì)量$M=\frac{F^3t^4}{16π^4N^4Gm^3}$．
答：（1）機(jī)器人進(jìn)行第二次測(cè)量的內(nèi)容是測(cè)量物體在月球上所受的重力．
（2）月球的半徑為$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}Nm}$．月球的質(zhì)量為$\frac{{F}^{3}{t}^{4}}{16{π}^{4}{N}^{4}G{m}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 登月飛船繞月球旋轉(zhuǎn)與人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)行相似，要建立物理模型：飛船繞月做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由月球的萬有引力提供飛船的向心力．