Question

如圖，質(zhì)量為 m₁物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m₂的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)．一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤．開始時(shí)各段繩都處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向．現(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量m₃ 的物體C并從靜止?fàn)顟B(tài)釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續(xù)上升．已知重力加速度為g．求此過程中：
（1）物體A上升的高度；
（2）彈簧彈性勢能的增量；
（3）若將C換成另一個(gè)質(zhì)量為（m₁+m₃）的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B剛離地時(shí)D的速度的大小是多少？

Answer 1

分析：當(dāng)掛一質(zhì)量為m₃的物體C時(shí)，恰好能使B離開地面但不繼續(xù)上升，說明此時(shí)彈簧對(duì)B的拉力的大小恰好和B的重力相等，由此可以求得彈簧彈性勢能的增加量，當(dāng)換成另一個(gè)質(zhì)量為（m₁十m₃）的物體D時(shí)，彈簧彈性勢能的增加量是相同的，從而能可以求得B剛離地時(shí)D的速度的大�。�

解答：解：（1）開始時(shí)，A、B靜止，設(shè)彈簧壓縮量為x₁，有
kx₁=m_lg    ①
掛C并釋放后，C向下運(yùn)動(dòng)，B向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)B剛要離地時(shí)彈簧伸長量為x₂，有
kx₂=m₂g    ②
則物體A上升的高度h=x₁+x₂=

m1g

k

+

m2g

k

=

(m1+m2)g

k

；
（2）B不再上升，表示此時(shí)A和C的速度為零，C已降到其最低點(diǎn)．由機(jī)械能守恒，與初始狀態(tài)相比，彈簧彈性勢能的增加量為
△E=m₃g（x₁+x₂）-m₁g（x₁+x₂）=

(m1+m2)(m3-m1)g2

k

③
（3）C換成D后，當(dāng)B 剛離地時(shí)彈簧勢能的增量與前一次相同，由能量關(guān)系得

1

2

（m₁+m₃）V²+

1

2

m₁V²=（m₁+m₃）g（x₁+x₂）-m₁g（x₁+x₂）-△E       ④
由③④式得

1

2

（2m₁+m₃）V²=m₁g（x₁+x₂）     ⑤
由①②⑤式得
V=

2m1(m1+m2)g2 (2m1+m3)k

．
答：（1）物體A上升的高度

(m1+m2)g

k

；
（2）彈簧彈性勢能的增量

(m1+m2)(m3-m1)g2

k

；
（3）若將C換成另一個(gè)質(zhì)量為（m₁+m₃）的物體D，仍從上述初始位置由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，所以B剛離地時(shí)D的速度的大小是V=

2m1(m1+m2)g2 (2m1+m3)k

．

點(diǎn)評(píng)：前后兩次的過程中，彈簧彈性勢能的增加量是相同的，這是聯(lián)系兩個(gè)過程的過度量，由此來求解D的速度．