Question

16．質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星與地心的距離為r時，引力勢能可表示為E_p=-G$\frac{Mm}{r}$，其中G為引力常量，M為地球質(zhì)量．一顆質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在半徑為r₁的圓形軌道上環(huán)繞地球勻速飛行，已知地球的質(zhì)量為M，要使此衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑增大為r₂，則衛(wèi)星上的發(fā)動機所消耗的最小能量為（假設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量始終不變，不計空氣阻力及其他星體的影響）（　�。�

• A． E=$\frac{GMm}{2}$（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）
• B． E=GMm（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）
• C． E=$\frac{GMm}{3}$（$\frac{1}{{r}_{1}}$-$\frac{1}{{r}_{2}}$）
• D． E=$\frac{2GMm}{3}$（$\frac{1}{{r}_{2}}$-$\frac{1}{{r}_{1}}$）

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力計算衛(wèi)星在軌道為r上的速度，從而求出衛(wèi)星在半徑為r圓形軌道上的動能，進(jìn)一步計算其機械能，根據(jù)機械能的增加量計算發(fā)動機消耗的最小能量．

解答 解：人造衛(wèi)星繞地球做圓周運動時，根據(jù)萬有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
則人造衛(wèi)星的動能為：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}\frac{GMm}{r}$
所以質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星與地心的距離為r時的機械能為：
$E={E}_{k}+{E}_{p}=\frac{1}{2}\frac{GMm}{r}-\frac{GMm}{r}$=$-\frac{GMm}{2r}$
衛(wèi)星從r₁上到r₂上發(fā)動機消耗的最小能量為增加的機械能，故有：
$△E={E}_{2}-{E}_{1}=（-\frac{GMm}{2{r}_{2}}）-（-\frac{GMm}{2{r}_{1}}）$=$\frac{GMm}{2}（\frac{1}{{r}_{1}}-\frac{1}{{r}_{2}}）$
故A正確、BCD錯誤．
故選：A．

點評 本題關(guān)鍵是要能夠根據(jù)萬有引力提供向心力計算出衛(wèi)星在軌道為r上的速度，從而計算出動能，要理解衛(wèi)星從低軌道上升到高軌道機械能的增加量等于發(fā)動機消耗的最小能量．