Question

8．2013年6月13日13時18分，天宮一號目標(biāo)飛行器與神舟十號飛船成功實現(xiàn)自動交會對接．組合體繞地球做圓周運動的周期為T，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，求
（1）組合體離地面的高度及速度大小；
（2）若對接前，神舟十號飛船在較低的軌道上與天宮一號目標(biāo)飛行器同向做圓周運動，此后，神舟十號飛船通過發(fā)動機做功W，增加引力勢能E，實現(xiàn)天宮一號目標(biāo)飛行器的對接，則發(fā)動機做功前，神舟十號飛船所在的高度是多少（神舟十號飛船的質(zhì)量為m）？

Answer 1

分析 萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，和在地球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，可以解得組合體離地面的高度，根據(jù)線速度與軌道半徑和周期的關(guān)系可以計算出速度大�。�根據(jù)能量守恒結(jié)合線速度的表達式計算動機做功前神舟十號飛船所在的高度．

解答 解：（1）組合體繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
又因為在地球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得$r=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
因為r=h+R
所以組合體離地面的高度為h=r-R=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
運行的速度為v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{2π}{T}\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}$
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
神舟十號飛船在較低的軌道上做離心運動到高軌道上與天宮一號對接，軌道高度增加，速度減小，即動能減�。�
根據(jù)能量守恒定律可知，減少的動能為△E_k=E-W
即$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m（\root{3}{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}）^{2}=E-W$
因為$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+H}}$
所以$\frac{1}{2}m\frac{g{R}^{2}}{R+H}-\frac{1}{2}m{（\root{3}{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}）}^{2}=E-W$
解得H=$\frac{g{R}^{2}}{\frac{2（E-W）}{m}-（{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}）}^{\frac{2}{3}}}-R$
答：（1）組合體離地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$，速度大小為$\root{3}{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}$；
（2）發(fā)動機做功前，神舟十號飛船所在的高度是$\frac{g{R}^{2}}{\frac{2（E-W）}{m}-（{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}）}^{\frac{2}{3}}}-R$．

點評 本題關(guān)鍵是要掌握萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$和在地球表面的物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$這兩個關(guān)系，并且要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_式．