Question

15．如圖所示，寬度為L的足夠長的平行金屬導軌固定在絕緣水平面上，導軌的兩端連接阻值R的電阻．導軌所在空間存在豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B，一根質量m的導體棒MN放在導軌上與導軌接觸良好，導體棒的有效電阻也為R，導體棒與導軌間的動摩擦因數(shù)為μ，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．導體棒MN的初始位置與導軌最左端距離為L，導軌的電阻可忽略不計．
（1）若用一平行于導軌的恒定拉力F拉動導體棒沿導軌向右運動，在運動過程中保持導體棒與導軌垂直，求導體棒最終的速度；
（2）若導體棒的初速度為v₀，導體棒向右運動L停止，求此過程導體棒中產生的焦耳熱；
（3）若磁場隨時間均勻變化，磁感應強度B=B₀+kt（k＞0），開始導體棒靜止，從t=0 時刻起，求導體棒經過多長時間開始運動以及運動的方向．

Answer 1

分析 （1）有法拉第電磁感應定律E=BLv和歐姆定律I=$\frac{E}{R}$，結合F_安=BIL及牛頓第二定律求解．
（2）有能量守恒定律求解．
（3）有法拉第電磁感應定律求得感應電動勢E=BLv，再由歐姆定律求得電流I=$\frac{E}{R}$，導體棒開始運動棒所受安培力和摩擦力相等，再由右手定則判定電流方向，由左手定則判定運動的方向．

解答 解：（1）導體棒最終勻速運動，設最終速度為v，由法拉第電磁感應定律得：E=BLv，歐姆定律得：$I=\frac{E}{2R}$，由牛頓第二定律：F=μmg+BIL，
解得：$v=\frac{2（F-μmg）R}{{{B^2}{L^2}}}$，
（2）由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v_0}^2=μmgL+Q$
回路中產生的總焦耳熱$Q=\frac{1}{2}m{v_0}^2-μmgL$，
根據(jù)串并聯(lián)電路特點，棒上焦耳熱和電阻上焦耳熱相等，
解得：${Q_棒}=\frac{1}{4}m{v_0}^2-\frac{1}{2}μmgL$
（3）磁感應強度B=B₀+kt，由法拉第電磁感應定律得：$E=\frac{△B}{△t}{L^2}=k{L^2}$，歐姆定律得：$I=\frac{E}{2R}$=$\frac{k{L}^{2}}{2R}$
導體棒恰好運動時，由牛頓第二定律（B₀+kt）IL=μmg，即：$（{B}_{0}+kt）\frac{k{L}^{2}}{2R}L=μmg$
解得：$t=\frac{2μmgR}{{{k^2}{L^3}}}-\frac{B_0}{k}$
由楞次定律得導體棒將向左運動      
答：（1）導體棒最終的速度為$\frac{2（F-μmg）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）此過程導體棒中產生的焦耳熱為$\frac{1}{4}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}μmgL$；
（3）導體棒經過$\frac{2μmgR}{{K}^{2}{L}^{3}}-\frac{{B}_{0}}{K}$時間開始向左運動．

點評 本題考查了求速度、時間、電阻產生的熱量，本題難度不大，應用E=BLv、歐姆定律、安培力公式、牛頓第二定律即可正確解題．