Question

如圖所示，從地面上A點發(fā)射一枚遠程彈道導彈，在引力作用下，沿ACB橢圓軌道飛行擊中地面目標B，C為軌道的遠地點，距地面高度為h．已知地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，引力常量為G．設距地面高度為h的圓軌道上衛(wèi)星運動周期為T₀．下列結論正確的是（　　）

• A、導彈在C點的速度大于

  GM R+h

• B、導彈在C點的加速度小于

  GM

  (R+h)2

• C、地球球心為導彈橢圓軌道的一個焦點
• D、導彈從A點運動到B點的時間一定小于T₀

Answer 1

分析：距地面高度為h的圓軌道上衛(wèi)星的速度，根據(jù)牛頓第二定律得到其運動速度為

GM R+h

．C為軌道的遠地點，導彈在C點的速度小于

GM R+h

．由牛頓第二定律求解導彈在C點的加速度．根據(jù)開普勒定律分析導彈的焦點．由開普勒第三定律分析導彈的運動時間與T₀的關系．

解答：解：
A、設距地面高度為h的圓軌道上衛(wèi)星的速度為v，則由牛頓第二定律得：G

Mm

(R+h)2

=m

v2

R+h

，得到v=

GM R+h

．導彈在C點只有加速才能進入衛(wèi)星的軌道，所以導彈在C點的速度小于

GM R+h

．故A錯誤．
B、由牛頓第二定律得：G

Mm

(R+h)2

=ma，得導彈在C點的加速度為a=

GM

(R+h)2

．故B錯誤．
C、根據(jù)開普勒定律分析知道，地球球心為導彈橢圓軌道的一個焦點．故C正確．
D、設導彈運動的周期為T，由于導彈的半長軸小于衛(wèi)星的軌道半徑R+h，根據(jù)開普勒第三定律知道：導彈運動的周期T＜T₀，則導彈從A點運動到B點的時間一定小于T₀．故D正確．
故選CD

點評：本題運用牛頓第二定律、開普勒定律分析導彈與衛(wèi)星運動問題．比較C在點的速度大小，可以結合衛(wèi)星變軌知識來理解．