Question

20．如圖所示，一個半徑為R的$\frac{1}{4}$透明球體放置在水平面上，一束藍光從A點沿水平方向射入球體后經(jīng)B點射出，最后射到水平面上的C點．已知OA=$\frac{R}{2}$，該球體對藍光的折射率為$\sqrt{3}$．若將該束光的入射點從A點向上移動到離0的$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$R處的A₁處，仍沿水平方向射入球體后最終射在水平面上的C₁處，求CC₁的距離是多少？

Answer 1

分析 光線在B點折射時，根據(jù)幾何關(guān)系求出入射角，通過折射定律求出折射角β．光束向上平移時，光線在圓弧面上的入射角增大，當(dāng)入射角增大到等于臨界角時光線將發(fā)生全反射，反射后最終射在水平面上的C₁處．由sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角C，再由幾何知識求解CC₁的距離．

解答 解：設(shè)從B點出射時的出射角為β，∠ABO=α
由sinα=$\frac{1}{2}$，得 α=30°
由n=$\frac{sinβ}{sinα}$，得 β=60°
過B點做OC的垂線，垂足為D，由幾何關(guān)系得：
∠BCD=β-α=30°
所以 CD=$\frac{R}{2tan∠BCD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
光速從A₁處沿水平方向射入球體，入射角為θ，sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
發(fā)生全反射的臨界角為 sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
顯然 θ＞C，所以該束光到達半圓界面時要發(fā)生全反射，反射角等于45°，即垂直射在水平面上的C₁點，則有：OC₁=Rsin45°，OD=Rcosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
因此 $C{C_1}=OD+CD-O{C_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}R+\frac{{\sqrt{3}}}{2}R-\frac{{\sqrt{2}}}{2}R=\sqrt{3}R-\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$
答：CC₁的距離是$\sqrt{3}$R-$\frac{\sqrt{2}}{2}$R．

點評 本題要熟練掌握光的折射定律和全反射條件，結(jié)合幾何知識，即可研究這類問題．