Question

【題目】如圖所示，一條帶有圓軌道的長(zhǎng)軌道水平固定，圓軌道豎直，底端分別與兩側(cè)的直軌道相切，半徑R＝0.5m，物塊A以v0＝6m/s的速度滑入圓軌道，滑過(guò)最高點(diǎn)Q，再沿圓軌道滑出后，與直軌道上P處?kù)o止的物塊B碰撞，碰后粘在一起運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)左側(cè)軌道光滑，右側(cè)軌道呈粗糙段、光滑段交替排列，每段長(zhǎng)度都為L＝0.1m，物塊與各粗糙段間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ＝0.1，A、B的質(zhì)量均為m＝1kg(重力加速度g取10m/s2；A、B視為質(zhì)點(diǎn)，碰撞時(shí)間極短)．

(1)求A滑過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度大小v和受到的彈力大小F；

(2)若碰后AB最終停止在第k個(gè)粗糙段上，求k的數(shù)值；

(3)求碰后AB滑至第n個(gè)(n＜k)光滑段上的速度vn與n的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】(1), F＝22 N (2) k＝45 (3)

【解析】

⑴物塊A從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)至Q點(diǎn)的過(guò)程中，受重力和軌道的彈力作用，但彈力始終不做功，只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：－2mgR＝－

解得：v＝＝4m/s

在Q點(diǎn)，不妨假設(shè)軌道對(duì)物塊A的彈力F方向豎直向下，根據(jù)向心力公式有：mg＋F＝

解得：F＝－mg＝22N，為正值，說(shuō)明方向與假設(shè)方向相同。

⑵根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知，物塊A與物塊B碰撞前瞬間的速度為v0，設(shè)碰后A、B瞬間一起運(yùn)動(dòng)的速度為v0′，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：mv0＝2mv0′

解得：v0′＝＝3m/s

設(shè)物塊A與物塊B整體在粗糙段上滑行的總路程為s，根據(jù)動(dòng)能定理有：－2μmgs＝0－

解得：s＝＝4.5m

所以物塊A與物塊B整體在粗糙段上滑行的總路程為每段粗糙直軌道長(zhǎng)度的＝45倍，即k＝45

⑶物塊A與物塊B整體在每段粗糙直軌道上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可知，其加速度為：a＝＝－μg＝－1m/s2

由題意可知AB滑至第n個(gè)（n＜k）光滑段時(shí)，先前已經(jīng)滑過(guò)n個(gè)粗糙段，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)速度-位移關(guān)系式有：2naL＝－

解得：vn＝＝m/s（其中n＝1、2、3、…、44）