Question

12．如圖所示，L₁、L₂為兩平行的直線，間距為d．L₁下方和L₂上方的空間有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子，以速度v從L₁上的M點(diǎn)入射兩線之間的真空區(qū)域，速度方向與L₁成θ=30°角．不計(jì)粒子所受的重力，試求：
（1）粒子從M點(diǎn)出發(fā)后，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間第一次回到直線L₁上？
（2）若在直線L₁、L₂之間的平面內(nèi)，存在與圖示速度方向垂直斜向上場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則粒子經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間第一次到達(dá)直線L₂？
（3）若直線L₁、L₂之間無(wú)電場(chǎng)，v滿足什么條件時(shí)，粒子恰好能回到M點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）粒子在兩磁場(chǎng)間做勻速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用勻速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出粒子在兩磁場(chǎng)間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，粒子在上面磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出粒子再次回到直線L₁上需要的時(shí)間．
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑正好等于弦長(zhǎng)，從而求出能夠回到M點(diǎn)的幾何關(guān)系．

解答 解：（1）粒子兩磁場(chǎng)間的真空區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，粒子在L₂上方磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

粒子從L₁到L₂的時(shí)間：t₁=$\frackuuo2qa{vsin30°}$=$\frac{2d}{v}$，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角：α=300°，
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{5πm}{3qB}$，
粒子從M點(diǎn)出發(fā)后第一次回到直線L₁上需要的時(shí)間：
t=2t₁+t₂=$\frac{4d}{v}$+$\frac{5πm}{3qB}$；
（2）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

沿場(chǎng)強(qiáng)方向的加速度為a=$\frac{qE}{m}$，位移：y=$\frac{1}{2}$at²
沿初速度方向的位移為：x=v₀t，
由幾何關(guān)系可得：（xtan30°+y）cos30°=d
由以上各式可得：t=$\frac{\sqrt{{v}^{2}{m}^{2}+4\sqrt{3}qEdm}-vm}{\sqrt{3}qE}$（負(fù)值舍去）
（3）粒子在真空區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑正好等于弦長(zhǎng)．要使粒子在L₂上方的磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)n次偏轉(zhuǎn)能回到M點(diǎn)，
粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑必須滿足：R=（n+1）dcot30°（n=1，2，3…）    ①
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  ②
由①②解得：v=$\frac{\sqrt{3}（n+1）qBd}{m}$  （n=1，2，3…）   
答：（1）粒子從M點(diǎn)出發(fā)后，經(jīng)過(guò)時(shí)間：$\frac{4d}{v}$+$\frac{5πm}{3qB}$第一次回到直線L₁上．
（2）若在直線L₁、L₂之間的平面內(nèi)，存在與圖示速度方向垂直斜向上場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，則粒子經(jīng)過(guò)時(shí)間$\frac{\sqrt{{v}^{2}{m}^{2}+4\sqrt{3}qEdm}-vm}{\sqrt{3}qE}$第一次到達(dá)直線L₂．
（3）若直線L₁、L₂之間無(wú)電場(chǎng)，粒子恰好能回到M點(diǎn)時(shí)v滿足的條件是：v=$\frac{\sqrt{3}（n+1）qBd}{m}$  （n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)與電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可解題；處理粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵是：作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，通過(guò)幾何關(guān)系找出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑以及圓心角．