Question

19．如圖所示，在光滑的水平面上有一塊質(zhì)量m=1kg的長(zhǎng)木板，木板上相距L=1.2m處各放一個(gè)質(zhì)量m=1kg的小木塊A和B（這兩個(gè)小木塊可當(dāng)做質(zhì)點(diǎn)），現(xiàn)分別給A木塊向右的速度v₁=5m/s，B木塊向左的速度v₂=2m/s，兩木塊沿同一直線相向運(yùn)動(dòng)，兩木塊與 木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.50，兩木塊相遇時(shí)做彈性碰撞（碰撞時(shí)間極短，且相互交換速度）．g=10m/s²，求：
（1）如果A、B始終在木板上，兩木塊間的最大距離；
（2）要使A、B始終在木板上，木板的長(zhǎng)度至少要多長(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）兩木塊從開(kāi)始到最終相對(duì)木板靜止的過(guò)程中，A、B、C組成的系統(tǒng)合外力為零，遵守動(dòng)量守恒定律．由動(dòng)量守恒定律求得最終三者的共同速度．再由能量守恒定律求兩木塊間的最大距離．
（2）兩木塊相遇前，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出A向右運(yùn)動(dòng)的位移，并用同樣的思路求出A、B相碰后A向左的速度減小到零時(shí)的位移，結(jié)合幾何關(guān)系求木板的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）兩木塊從開(kāi)始到最終相對(duì)木板靜止的過(guò)程中，A、B、C組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒．取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₁-mv₂=（m+m+m）v
從能的轉(zhuǎn)化和守恒來(lái)看，系統(tǒng)減小的機(jī)械能全部用來(lái)克服摩擦力做功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，且一對(duì)摩擦力做功的代數(shù)和與接觸面間的相對(duì)滑動(dòng)的路程有關(guān)．設(shè)兩木塊最終相距s．由能量守恒定律得：
f（s+L）=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$（m+m+m）v²．
聯(lián)立解得：s=1.4m
（2）A、B兩木塊相遇前A向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，B向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小均為 a=$\frac{μmg}{m}$=μg=5m/s²．假設(shè)兩者相遇前木板一直不動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間A、B相遇．則有 L=（v₁t-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$）+（v₂t-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$）
解得：t=0.2s
B速度減至零用時(shí)：t′=$\frac{{v}_{2}}{a}$=$\frac{2}{5}$s=0.4s＞t
所以假設(shè)成立．
則A、B兩木塊相遇前A向右的位移為：x_A=v₁t-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=5×0.2-$\frac{1}{2}$×0.2²=0.9m
A、B相碰前瞬間B的速度為：v₂′=v₁-at=2-5×0.2=1m/s
則碰后A的速度大小為：v₁′=v₂′=1m/s
A、B相碰后，A向左的速度減小到零時(shí)，向左的位移為：x_A′=$\frac{{v}_{1}^{′2}}{2a}$=$\frac{{1}^{2}}{2×5}$=0.1m
所以木板的最短長(zhǎng)度為：d=s+x_A-x_A′=1.4+0.9-0.1=2.2m
答：（1）如果A、B始終在木板上，兩木塊間的最大距離是1.4m；
（2）要使A、B始終在木板上，木板的長(zhǎng)度至少要2.2m．

點(diǎn)評(píng) 本題是木塊在木板上滑動(dòng)類型，分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題基礎(chǔ)，其次要把握物理過(guò)程的物理規(guī)律，常常根據(jù)動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合處理．