Question

12．如圖1所示，平行于光滑斜面的輕彈簧勁度系數(shù)為k，一端固定在傾角為θ的斜面底端，另一端與物塊A連接，物塊B沿斜面疊放在物塊A上但不黏連．光滑斜面軌道與傳送軌道良好對接，傳送軌道平面與水平方向傾角也是θ，皮帶傳動裝置順時針勻速轉(zhuǎn)動，物塊A，B質(zhì)量均為m，初始時兩物塊均靜止．現(xiàn)用平行于斜面向上的拉力拉動物塊B，使B做加速度為a的勻加速運動，兩物塊在開始一段時間內(nèi)的v-t圖象如圖2所示（t₁時刻A、B的圖線相切，t₂時刻對應(yīng)A圖線的最高點），重力加速度為g，（t₁和t₂，v₁和v₂均未知）
（1）求t₂時刻彈簧的形變長度x
（2）求t₁的值
（3）已知θ=37⁰，傳送帶兩輪軸心相距L=5m，物體B與皮帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.25．設(shè)AB剛好在C點（斜面與傳送帶的連接點）分離并進入傳送軌道，設(shè)物體B滑到傳送帶的C點時速度為8m/s，物體可視為質(zhì)點，如果在物體B到達C點同時撤去拉力F，（sin37°=0.6，cos37°=0.8））若傳送裝置勻速轉(zhuǎn)動的速度v可在v＞4m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)，試推導(dǎo)物體B滑動到頂端D時速度v_D隨傳送帶速度v變化的關(guān)系式，g取l0m/s²．

Answer 1

分析 （1）A的速度最大時加速度為零，根據(jù)胡克定律求出A達到最大速度時的位移；
（2）由圖讀出，t₁時刻A、B開始分離，對A根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式求解t₁；
（3）分傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s和v≥8m/s兩個范圍，根據(jù)運動學(xué)基本公式求解．

解答 解：（1）由圖知，A的加速度為零，速度最大，
根據(jù)牛頓第二定律和胡克定律得：mgsinθ=kx，得：
  x=$\frac{mgsinθ}{k}$
（2）由圖讀出，t₁時刻A、B開始分離，對A根據(jù)牛頓第二定律：
   kx-mgsinθ=ma
開始時有：2mgsinθ=kx₀
又 x₀-x=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
聯(lián)立以三式得：t₁=$\sqrt{\frac{2（mgsinθ-ma）}{ak}}$．
（3）當(dāng)傳送帶的速度在4m/s＜v＜8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時，物體B先以加速度a₁減速向上滑行：x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{1}}$
根據(jù)牛頓第二定律得：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁；
當(dāng)速度減到v后又以a₂減速向上滑行，x₂=$\frac{{v}^{2}-{v}_{D}^{2}}{2{a}_{2}}$
根據(jù)牛頓第二定律得：μmgcosθ-mgsinθ=ma₂；
又有 L=x₁+x₂；
物體B滑動到D點時速度v_D隨速度v的變化關(guān)系式是 v_D=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$
當(dāng)傳送帶的速度在v≥8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時，物體B將以加速度a₂減速 滑行到D點：${v}_{D}^{2}$-${v}_{0}^{2}$=-2aL
物體B滑動到D點時速度v_D隨速度v的變化關(guān)系式是 v_D=2$\sqrt{6}$m/s．
答：
（1）t₂時刻彈簧的形變長度x為 $\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）t₁的值為$\sqrt{\frac{2（mgsinθ-ma）}{ak}}$；
（3）物體B滑動到頂端D時速度v_D隨傳送帶速度v變化的關(guān)系式，當(dāng)4m/s＜v＜8m/s時v_D=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$；當(dāng)v≥8m/s時，v_D=2$\sqrt{6}$m/s．

點評 從受力角度看，兩物體分離的條件是兩物體間的正壓力為0．從運動學(xué)角度看，一起運動的兩物體恰好分離時，兩物體在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等．