Question

9．如圖所示，M是水平放置的半徑足夠大的圓盤，繞過其圓心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)定經(jīng)過圓心O點(diǎn)且水平向右為x軸正方向．在O點(diǎn)正上方距盤面高為h=1.25m處有一個(gè)可間斷滴水的容器，從t=0時(shí)刻開始，容器沿水平軌道向x軸正方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．已知t=0時(shí)刻滴下第一滴水，以后每當(dāng)前一滴水剛好落到盤面時(shí)再滴下一滴水．則：（取g=10m/s²）
（1）每一滴水離開容器后經(jīng)過多長時(shí)間滴落到盤面上？
（2）要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，圓盤的角速度應(yīng)為多大？
（3）當(dāng)圓盤的角速度為2πrad/s時(shí)，第二滴水與第三滴水在盤面上落點(diǎn)間的距離2m，求容器的加速度a為多大？

Answer 1

分析 （1）離開容器后，每一滴水在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，水滴運(yùn)動(dòng)的時(shí)間等于豎直方向運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由高度決定；
（2）要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，則圓盤在t秒內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度為kπ，k為不為零的正整數(shù)；
（3）通過勻加速直線運(yùn)動(dòng)的公式求出兩個(gè)水滴在水平方向上的位移，再算出兩個(gè)位移之間的夾角，根據(jù)位移關(guān)系算出容器的加速度．

解答 解：（1）由于離開容器后，每一滴水在豎直方向上做自由落體運(yùn)動(dòng)．
所以每一滴水滴落到盤面上所用時(shí)間$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
    （2）因?yàn)槭姑恳坏嗡�在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線，則圓盤在t秒內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧度為kπ，k為不為零的正整數(shù)．
所以：ωt=kπ        
     即$ω=kπ\(zhòng)sqrt{\frac{g}{2h}}$，其中k=1，2，3…
    （3）因?yàn)槎�滴水離開O點(diǎn)的距離為${s_2}=\frac{1}{2}a{t^2}+（at）t$…①
         第三滴水離開O點(diǎn)的距離為${s}_{3}=\frac{1}{2}a{t}^{2}+（a2t）t$…②
         （上面①②兩式中：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$…③）
         又：$△θ=ωt=\frac{3}{2}π\(zhòng)sqrt{\frac{g}{2h}}×\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{3}{2}π$
      即第二滴水和第三滴水分別滴落在圓盤上x軸方向及垂直x軸的方向上．
則：s₂²+s₃²=s²…④
     聯(lián)列①②③④可得：$a=\frac{{\sqrt{73}}}{73}\frac{sg}{h}=0.117\frac{sg}{h}$．
答：（1）每一滴水離開容器后經(jīng)過$\sqrt{\frac{2h}{g}}$時(shí)間滴落到盤面上；
（2）要使每一滴水在盤面上的落點(diǎn)都位于同一直線上，圓盤的角速度ω應(yīng)為$kπ\(zhòng)sqrt{\frac{g}{2h}}$，其中k=1，2，3…；
（3）容器的加速度a為$0.117\frac{sg}{h}$．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到運(yùn)動(dòng)的合成與分解，圓周運(yùn)動(dòng)，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律，特別注意水滴離開容器后做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．