Question

20．如圖所示，電阻不計(jì)的兩金屬導(dǎo)軌相距為l，固定在水平絕緣桌面上，斜面MNPQ與水平直軌道在最低點(diǎn)相切，水平直導(dǎo)軌部分處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，末端與桌面邊緣平齊，一質(zhì)量為m、電阻為R的導(dǎo)體棒ab從距水平桌面的高度為h處無(wú)初速度釋放，進(jìn)入水平直導(dǎo)軌后向右運(yùn)動(dòng)，最后離開(kāi)導(dǎo)軌落到水平地面上，落地點(diǎn)到桌面邊緣的水平距離為x．已知斜面與水平面間的夾角為θ，PM處所接電阻的阻值也為R，且導(dǎo)體棒ab通過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中通過(guò)它的電荷量為q，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，桌面離地面的高度為H，重力加速度為g．求：
（1）導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)和離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度大小；
（2）導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，回路產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒在斜面導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)只有重力和阻力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求得導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，導(dǎo)體棒離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)導(dǎo)體棒平拋的水平位移和豎直高度，求得導(dǎo)體棒離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度即可；
（2）根據(jù)$q=\frac{△∅}{R}$，由流量導(dǎo)體棒截面的電荷量和回路的總電阻求得導(dǎo)體棒在水平軌道上運(yùn)動(dòng)的位移s，再根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律可知，導(dǎo)體棒減小的機(jī)械能一部分轉(zhuǎn)化為回路產(chǎn)生的焦耳熱，一部分克服摩擦力做功．

解答 解：（1）設(shè)導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)和離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度大小分別為v₁和v₂
由動(dòng)能定理有：$mgh-μmgcosθ×\frac{h}{sinθ}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{2gh（sinθ-μcosθ）}{sinθ}}$
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知：x=v₂t
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：${v}_{2}=x\sqrt{\frac{g}{2H}}$
（2）設(shè)導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的位移為s，則由法拉第電磁感應(yīng)定律有：
$E=\frac{△∅}{△t}=\frac{B△s}{△t}=\frac{Bls}{△t}$
q=I△t
I=$\frac{E}{2R}$
可得：$s=\frac{2qR}{Bl}$
根據(jù)能的轉(zhuǎn)化與守恒定得：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}=μmgs+Q$
解得：Q=$mg（h-\frac{μhcosθ}{sinθ}-\frac{{x}^{2}}{4H}-\frac{2μgR}{Bl}）$
答：（1）導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)和離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度大小分別為：$\sqrt{\frac{2gh（sinθ-μcosθ）}{sinθ}}$和$x\sqrt{\frac{g}{2H}}$；
（2）導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，回路產(chǎn)生的焦耳熱為$mg（h-\frac{μhcosθ}{sinθ}-\frac{{x}^{2}}{4H}-\frac{2μgR}{Bl}）$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵一是根據(jù)物體的受力和做功分析由動(dòng)能定理求得導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，第二要掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，能根據(jù)平拋的射程和下落高度求得平拋的初速度，再有是根據(jù)平均電流求解流過(guò)導(dǎo)體截面的電荷量即$q=\frac{△∅}{R}$，能據(jù)此反推由電荷量求得導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)的距離．本題難度不大，但涉及知識(shí)點(diǎn)較多，得全分不易．