Question

11．光滑的半圓形豎直軌道，其圓心與墻在同一豎直平面內(nèi)，軌道的下端與水平相切，水平面高出地面H=2R，如圖所示，一小球沿水平方向進(jìn)入半圓形軌道下端，小球沿軌道運(yùn)動的過程中對軌道的壓力的大小和小球與圓心的連線同豎直方向的夾角θ滿足關(guān)系式F=k+kcosθ，其中k為常數(shù)，求：
（1）常數(shù)k的大小；
（2）小球落地點(diǎn)到豎直墻的水平距離L．

Answer 1

分析 （1）對圓弧上任一點(diǎn)分析，由向心力公式及動能定理可得出F的表達(dá)式，則由求得K值；
（2）對全程由動能定理及平拋運(yùn)動規(guī)律可求得水平距離．

解答 解：在圓弧上任取一點(diǎn)A，對小球在A點(diǎn)受力分析，由向心力公式可得：F-mgcosθ=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
對從最低點(diǎn)到A過程，由動能定理可得：
-mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀²
聯(lián)立解得：
F=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}-2mg+3mgcosθ$
由題意可知：
F=k+kcosθ
故k=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$-2mg=3mg
故可知：k=3mg；
v₀=$\sqrt{5gR}$
（2）從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由動能定理可得：
-2mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v_B=$\sqrt{gR}$
由平拋運(yùn)動規(guī)律可知：
H+2R=$\frac{1}{2}$gt²
x=v_Bt
解得：x=2$\sqrt{2}$R
答：（1）常數(shù)k的大小為$\sqrt{5gR}$；
（2）小球落地點(diǎn)到豎直墻的水平距離為2$\sqrt{2}$R．

點(diǎn)評 本題考查動能定理、平拋運(yùn)動規(guī)律和向心力公式，要求能明確通式的書寫，并正確應(yīng)用平拋及向心力公式等于分析求解．