Question

15．如圖所示，一軌道由光滑豎直的$\frac{1}{4}$圓弧AB、粗糙水平面BC及光滑斜面CE組成，BC與CE在C點(diǎn)由極小光滑圓弧相切連接，一小球從A點(diǎn)正上方h=0.2m處P點(diǎn)自由下落，正好沿A點(diǎn)切線進(jìn)入軌道，已知小球質(zhì)量m=1kg，$\frac{1}{4}$豎直圓弧半徑R=0.05m，BC長(zhǎng)s=0.1m，小球過(guò)C點(diǎn)后t₁=0.3s第一次到達(dá)圖中的D點(diǎn)，又經(jīng)t₂=0.2s第二次到達(dá)D點(diǎn)．重力加速度取g=10m/s²．求：
（1）小球第一次離開圓弧軌道B點(diǎn)瞬時(shí)速度大小v_B和此時(shí)受軌道彈力大小；
（2）小球第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)瞬間的速度大小v_C；
（3）小球與水平面BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出 小球第一次到達(dá)B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出軌道對(duì)小球的彈力大小．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出小球在CE段的加速度，結(jié)合速度時(shí)間公式求出小球第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)瞬間的速度大小．
（3）根據(jù)牛頓第二定律和速度位移公式求出小球在水平面上的動(dòng)摩擦因數(shù)大�。�

解答 解：（1）由動(dòng)能定理知，$mg（h+R）=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得${v}_{B}=\sqrt{5}m/s$．
在圓弧軌道B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有：${N}_{B}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得N_B=110N．
（2）小球在CE段加速度a=$gsinθ=10×\frac{1}{2}=5m/{s}^{2}$，
由對(duì)稱性及題意可知，小球從C點(diǎn)上滑到最高點(diǎn)用時(shí)t=0.4s．
則小球在C點(diǎn)的速度v_C=at=5×0.4m/s=2m/s．
（3）小球從B到C過(guò)程中，μmg=ma′，
${{v}_{B}}^{2}-{{v}_{C}}^{2}=2a′s$，
代入數(shù)據(jù)解得μ=0.5．
答：（1）小球第一次離開圓弧軌道B點(diǎn)瞬時(shí)速度大小為$\sqrt{5}$m/s，此時(shí)受軌道彈力大小為110N；
（2）小球第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)瞬間的速度大小為2m/s；
（3）小球與水平面BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律，運(yùn)用動(dòng)能定理解題注意選擇合適的研究過(guò)程，列式進(jìn)行求解．