Question

18．2013年12月2日1時30分，我國成功發(fā)射了“嫦娥三號”探月衛(wèi)星，12月6日17時47分順利進入環(huán)月軌道．若該衛(wèi)星在地球表面的重力為G₁，在月球表面的重力為G₂，已知地球半徑為R₁，月球半徑為R₂，地球表面處的重力加速度為g，則（　　）

• A． 月球表面處的重力加速度g_月為 $\frac{G_2}{G_1}g$
• B． 月球的質量與地球的質量之比為$\frac{{{G_1}R_2^2}}{{{G_2}R_1^2}}$
• C． 衛(wèi)星在距月球表面軌道上做勻速圓周運動的周期T_月為2π$\sqrt{\frac{{{R_2}{G_1}}}{{g{G_2}}}}$
• D． 月球的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為$\sqrt{\frac{{{G_1}{R_2}}}{{{G_2}{R_1}}}}$

Answer 1

分析 衛(wèi)星在地球表面的重力為G₁，地球表面處的重力加速度為g，由G₁=mg，求出衛(wèi)星的質量，再G₂=mg_月求出g_月．根據(jù)g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，由兩星球的半徑和表面重力加速度分別求出地球和月球的質量．衛(wèi)星在距月球表面軌道上做勻速圓周運動時，由月球的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出衛(wèi)星的周期．地球的第一宇宙速度為v_地=$\sqrt{g{R}_{1}}$，月球的第一宇宙速度為v_月=$\sqrt{{g}_{月}{R}_{2}}$，將G₁=mg，G₂=mg_月代入求出第一宇宙速度之比．

解答 解：A、衛(wèi)星的質量為m=$\frac{{G}_{1}}{g}$，月球表面處的重力加速度g_月=$\frac{{G}_{2}}{m}$=$\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}$g．故A正確；
B、由g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，得到月球的質量M_月=$\frac{{g}_{月}{{R}_{2}}^{2}}{G}$，M_地=$\frac{g{{R}_{1}}^{2}}{G}$，又$\frac{{g}_{月}}{g}=\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}$，整理得，月球的質量與地球的質量之比為$\frac{{G}_{2}{{R}_{2}}^{2}}{{G}_{1}{{R}_{1}}^{2}}$．故B錯誤；
C、設衛(wèi)星質量為m，由mg_月=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{月}$，g_月=$\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}g$，解得T_月=2π$\sqrt{\frac{{R}_{2}{G}_{1}}{g{G}_{2}}}$．故C正確；
D、月球的第一宇宙速度為v_月=$\sqrt{{g}_{月}{R}_{2}}$，地球的第一宇宙速度為v_地=$\sqrt{g{R}_{1}}$，將G₁=mg，G₂=mg_月代入解得：$\frac{{v}_{月}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{{G}_{2}{R}_{2}}{{G}_{1}{R}_{1}}}$．故D錯誤．
故選：AC．

點評 本題是衛(wèi)星類型的問題，關鍵是構建物理模型，再運用數(shù)學變換進行分析處理．