Question

19．某宇航員登上一自轉(zhuǎn)周期為T的星球后，進行了以下操作，他在該星球的赤道上用一彈簧秤測得一物體的重力大小為G₁；在該星球的兩極處測得該物體的重力大小為G₂．已知引力常量為G，則星球的密度為（　�。�

• A． $\frac{3π{G}_{2}}{G（{G}_{2}-{G}_{1}）{T}^{2}}$
• B． $\frac{3π（{G}_{2}-{G}_{1}）}{GG{{\;}_{2}T}^{2}}$
• C． $\frac{3π{G}_{2}}{GG{{\;}_{1}T}^{2}}$
• D． $\frac{3π{G}_{1}}{G{G}_{2}{T}^{2}}$

Answer 1

分析 在兩極萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供向心力，根據(jù)該規(guī)律求出星球的質(zhì)量，從而求出星球的密度．

解答 解：設星球質(zhì)量為M，半徑為R
赤道上萬有引力分解為重力和向心力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}={G}_{1}^{\;}+m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$…①
在兩極萬有引力等于重力，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}={G}_{2}^{\;}$…②
得：$M=\frac{{G}_{2}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gm}$
$M=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$
解得：$ρ=\frac{3{G}_{2}^{\;}}{Gm4πR}$…③
由①②d得：${G}_{2}^{\;}-{G}_{1}^{\;}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$m=\frac{（{G}_{2}^{\;}-{G}_{1}^{\;}）{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}R}$④
將④代入③得：$ρ=\frac{3π{G}_{2}^{\;}}{G（{G}_{2}^{\;}-{G}_{1}^{\;}）{T}_{\;}^{2}}$，故A正確，BCD錯誤；
故選：A

點評 解決本題的關鍵知道在地球的赤道和兩極，重力與萬有引力大小的關系，并能靈活運用．