Question

13．如圖所示，一壓縮的輕彈簧左端固定，右端與一滑塊相接觸但不拴接，滑塊質(zhì)量為m，A點(diǎn)左側(cè)地面光滑，滑塊與水平地面AB段間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.2，AB的長(zhǎng)度為5R，現(xiàn)將滑塊由靜止釋放，當(dāng)滑塊被彈到A點(diǎn)時(shí)彈簧恰恢復(fù)原長(zhǎng)，之后滑塊繼續(xù)向B點(diǎn)滑行，并滑上光滑的半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道BC．在C點(diǎn)正上方有一離C點(diǎn)高度也為R的旋轉(zhuǎn)平臺(tái)，沿平臺(tái)直徑方向開(kāi)有兩個(gè)離軸心距離相等的小孔P、Q，平臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)兩孔均能達(dá)到C點(diǎn)的正上方．若滑塊滑過(guò)C點(diǎn)后從P孔穿出，又恰能從Q孔穿過(guò)落回．已知壓縮的輕彈簧具有的彈性勢(shì)能為4.5mgR．空氣阻力可忽略不計(jì)，求：
（1）滑塊通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)地板的壓力；
（2）平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω應(yīng)滿(mǎn)足什么條件（用g、R表示）?
（3）小物體最終停在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？（假設(shè)小物體每次與彈簧碰撞時(shí)沒(méi)有機(jī)械能損失）

Answer 1

分析 （1）對(duì)滑塊運(yùn)動(dòng)過(guò)程又有動(dòng)能定理求得在B處的速度，然后由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求得通過(guò)小孔時(shí)的速度，然后由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得通過(guò)兩孔的時(shí)間間隔，即可求得角速度；
（3）由動(dòng)能定理求得速度得到物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，然后應(yīng)用動(dòng)能定理求得在AB上運(yùn)動(dòng)的總路程，即可由運(yùn)動(dòng)過(guò)程求得最終位置．

解答 解：（1）滑塊運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程只有彈簧彈力和摩擦力做功，故由動(dòng)能定理可得：${E}_{p}-5μmgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${v}_{B}=\sqrt{7gR}$；
那么，對(duì)滑塊在B點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=7mg$；
故由牛頓第三定律可得：滑塊通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)地板的壓力N=F_N=8mg；
（2）滑塊從B到平臺(tái)小孔處的運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力做功，故機(jī)械能守恒，則有：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以，滑塊在小孔處的速度$v=\sqrt{3gR}$；
滑塊在小孔上方只受重力做功，故滑塊穿過(guò)P、Q的時(shí)間間隔$t=2\frac{v}{g}=\sqrt{\frac{12R}{g}}$；
平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度$ω=\frac{（2n+1）π}{t}=\frac{（2n+1）π}{2}\sqrt{\frac{g}{3R}}，n=0，1，2，3…$；
（3）設(shè)小物塊第二次沖上BC，在B處的速度為v_B′，那么，對(duì)小物塊從靜止開(kāi)始的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可得：${E}_{p}-3μmg•5R=\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}$；
故$\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}=1.5mgR＜2mgR$，小物塊不能再次到達(dá)平臺(tái)高度；
那么，小物塊整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有彈簧彈力、摩擦力做功，設(shè)物塊在AB上通過(guò)的路程為x，則由動(dòng)能定理可得：E_p-μmgx=0，故$x=\frac{4.5mgR}{0.2mg}=22.5R=4×5R+2.5R$；
所以，小物體最終停在距A點(diǎn)2.5R處．
答：（1）滑塊通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)地板的壓力為8mg；
（2）平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度$ω=\frac{（2n+1）π}{2}\sqrt{\frac{g}{3R}}，n=0，1，2，3…$；?
（3）小物體最終停在距A點(diǎn)2.5R處．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．