Question

16．一輕彈簧的一端固定在傾角為θ的固定光滑斜面的底部，另一端和質(zhì)量為m的小物塊a相連，如圖所示．質(zhì)量為$\frac{3}{5}$m的小物塊b緊靠a靜止在斜面上，此時(shí)彈簧的壓縮量為x₀，從t=0時(shí)開始，對(duì)b施加沿斜面向上的外力，使b始終做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．經(jīng)過一段時(shí)間后，物塊a、b分離；再經(jīng)過同樣長的時(shí)間，b距其出發(fā)點(diǎn)的距離恰好也為x₀．彈簧的形變始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度大小為g．求
（1）彈簧的勁度系數(shù)；
（2）物塊b加速度的大��；
（3）在物塊a、b分離前，外力大小隨時(shí)間變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）對(duì)整體分析，根據(jù)平衡條件和胡克定律即可求得勁度系數(shù)；
（2）分析物體的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可明確分離時(shí)的位移，從而確定對(duì)應(yīng)的形變量；再根據(jù)牛頓第二定律即可求得加速度的大小；
（3）對(duì)整體進(jìn)行分析，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求得拉力隨時(shí)間變化的表達(dá)式．

解答 解：（1）對(duì)整體分析，根據(jù)平衡條件可知，沿斜面方向上重力的分力與彈簧彈力平衡，則有：
kx₀=（m+$\frac{3}{5}$m）gsinθ
解得：k=$\frac{8mgsinθ}{5{x}_{0}}$    （1）
（2）由題意可知，b經(jīng)兩段相等的時(shí)間位移為x₀；
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)相鄰相等時(shí)間內(nèi)位移關(guān)系的規(guī)律可知：
$\frac{{x}_{1}}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{4}$     （2）
說明當(dāng)形變量為x₁=x₀-$\frac{{x}_{0}}{4}$=$\frac{3{x}_{0}}{4}$時(shí)二者分離；
對(duì)m分析，因分離時(shí)ab間沒有彈力，則根據(jù)牛頓第二定律可知：
kx₁-mgsinθ=ma   （3）
聯(lián)立（1）（2）（3）解得：
a=$\frac{gsinθ}{5}$
（3）設(shè)時(shí)間為t，則經(jīng)時(shí)間t時(shí)，ab前進(jìn)的位移x=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{gsinθ{t}^{2}}{10}$
則形變量變?yōu)椋骸鱴=x₀-x
對(duì)整體分析可知，由牛頓第二定律有：
F+k△x-（m+$\frac{3}{5}$m）gsinθ=（m+$\frac{3}{5}$m）a
解得：F=$\frac{48}{25}$mgsinθ+$\frac{4m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{25{x}_{0}}$ t²  因分離時(shí)位移x=$\frac{{x}_{0}}{4}$
由x=$\frac{{x}_{0}}{4}$=$\frac{1}{2}$at²解得：
t=$\sqrt{\frac{5{x}_{0}}{2gsinθ}}$
故應(yīng)保證t＜$\sqrt{\frac{5{x}_{0}}{2gsinθ}}$，F(xiàn)表達(dá)式才能成立．
答：
（1）彈簧的勁度系數(shù)為$\frac{8mgsinθ}{5{x}_{0}}$；
（2）物塊b加速度的大小為$\frac{gsinθ}{5}$；
（3）在物塊a、b分離前，外力大小隨時(shí)間變化的關(guān)系式F=$\frac{48}{25}$mgsinθ+$\frac{4m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{25{x}_{0}}$t² （t＜$\sqrt{\frac{5{x}_{0}}{2gsinθ}}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查牛頓第二定律的基本應(yīng)用，解題時(shí)一定要注意明確整體法與隔離法的正確應(yīng)用，同時(shí)注意分析運(yùn)動(dòng)過程，明確運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的選擇和應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．