Question

14．如圖甲的xoy坐標(biāo)系中，第一、二和三象限中存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．在O處有一粒子源，能向平面內(nèi)各個方向均勻發(fā)射速率為v₀的帶正電的相同粒子，這些粒子與-x軸的最遠(yuǎn)交點(diǎn)為A（-2a，0）．不計粒子重力以及粒子之間的相互作用．

（1）求粒子的比荷$\frac{q}{m}$．
（2）若在x=-1.5a處垂直于x軸放置一塊足夠長的熒光板MN，當(dāng)粒子擊中MN時將被吸收，并使熒光物質(zhì)發(fā)光變亮．求MN上亮線的長度
（3）若撤去粒子源和第一象限內(nèi)的磁場，在第四象限內(nèi)加一個沿+y方向的場強(qiáng)為E=v₀B的勻強(qiáng)電場，并在第一象限內(nèi)x=3a處放一個足夠長的熒光屏PQ，如圖乙．在y軸上y=2a以下位置水平沿-x方向以速度v₀發(fā)射上述粒子，則應(yīng)在何處發(fā)射，才能使粒子擊中PQ時的位置離P最遠(yuǎn)？求出最遠(yuǎn)距離．

Answer 1

分析 （1）在磁場中，根據(jù)洛倫茲力提供向心力幾何幾何關(guān)系即可求解；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系分別求出MN上粒子打中的最高點(diǎn)C和最低點(diǎn)離x軸的距離，從而求出亮線的長度；
（3）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本公式求出擊中點(diǎn)離P點(diǎn)的距離的表達(dá)式，再結(jié)合數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：（1）在磁場中，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
Bqv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
由幾何關(guān)系得：r=a，
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{{v}_{0}}{Ba}$；

（2）MN上粒子打中的最高點(diǎn)C離x軸的距離：
l₁=$\sqrt{（2a）^{2}-（\frac{3}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$a，
MN上粒子打中的最低點(diǎn)D離x軸的距離：
l₂=$\sqrt{{a}^{2}-（1.5a-a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
所以亮線的長度：
l=l₁+l₂=$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}a$；

（3）粒子從y=-h處F點(diǎn)進(jìn)入電場，
在電場中：x=v₀t，h=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
速度偏角為α，則tanα=$\frac{\frac{qE}{m}t}{{v}_{0}}$，
擊中點(diǎn)離P點(diǎn)的距離為：Y=（3a-x）tanα，
聯(lián)立各式解得：Y=3$\sqrt{2ah}$-2h，當(dāng)$\sqrt{h}$=-$\frac{3\sqrt{2}a}{4}$，
即h=$\frac{9}{8}$a時，亦即發(fā)射點(diǎn)為y=$\frac{7}{8}$a時，
有：Y_max=3$\sqrt{2a•\frac{9}{8}h}$-2•$\frac{9a}{8}$=$\frac{9}{4}$a．
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{{v}_{0}}{Ba}$；
（2）MN上亮線的長度為$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}a$；
（3）發(fā)射點(diǎn)為y=$\frac{7}{8}$a時，才能使粒子擊中PQ時的位置離P最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離為$\frac{9}{4}$a．

點(diǎn)評 帶電粒子在磁場中運(yùn)動的題目解題步驟為：定圓心、畫軌跡、求半徑．要掌握左手定則，熟練運(yùn)用牛頓第二定律研究半徑．