Question

18．如圖是用折射率n=$\sqrt{2}$的玻璃做成內(nèi)徑為R、外徑為R′=$\sqrt{2}$R的半球形空心球殼．現(xiàn)有一束與中心對稱軸OO′平行的光射向此半球的外表面，要使球殼內(nèi)表面沒有光線射出，需在球殼上方垂直O(jiān)O′放置一圓心通過OO′軸的圓形遮光板，求該遮光板的半徑d．

Answer 1

分析 光線射到內(nèi)球面時，若入射角大于或等于臨界角時，會發(fā)生全反射，光線將不能射入球殼內(nèi)部．根據(jù)折射定律求出臨界角．作出光路圖，由幾何知識求出光線射到內(nèi)球面剛好發(fā)生全反射時，在外球面的折射角，根據(jù)光路圖，由幾何知識求出遮光板的半徑．

解答 解：設(shè)光線a′a射入外球面，沿ab方向射向內(nèi)球面，剛好發(fā)生全反射，則有：
  sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$
得：C=45°
在△Oab中，Oa=$\sqrt{2}$R，Ob=R，由正弦定理得：$\frac{sin（180°-C）}{\sqrt{2}R}$=$\frac{sinr}{R}$
即得 r=30°，
由$\frac{sini}{sinr}$=n，得 i=45°
又∠O′Oa=i
當(dāng)射向外球面的入射光線的入射角小于i=45°時，這些光線都會射出內(nèi)球面，由圖中可知得：
  d=R′sini=$\sqrt{2}$R$•\frac{\sqrt{2}}{2}$=R
所以，至少用一個半徑為R的遮光板，圓心過OO′軸并垂直該軸放置，才可以擋住射出球殼的全部光線，這時球殼內(nèi)部將沒有光線射出．
答：該遮光板的半徑d為R．

點評 本題是折射定律、臨界角和幾何知識的綜合應(yīng)用，作出光路圖是關(guān)鍵，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解答．