Question

8．如圖所示，足夠長的斜面與水平面夾角為37^°，斜面上有一質(zhì)量M=3kg的長木板，斜面底端擋板高度與木板厚度相同．m=1kg的小物塊從空中某點(diǎn)以v₀=3m/s水平拋出，拋出同時木板由靜止釋放，小物塊下降h=0.8m掉在木板前端，碰撞時間極短可忽略不計(jì)，碰后瞬間物塊垂直斜面分速度立即變?yōu)榱悖�碰后兩者向下運(yùn)動，小物塊恰好在木板與擋板碰撞時在擋板處離開木板．已知木板與斜面間動摩擦因素μ=0.5，木板上表面光滑，木板與擋板每次碰撞均無能量損失，g=10m/s²，求：
（1）碰前瞬間小物塊速度大小和方向．
（2）木板至少多長小物塊才沒有從木板后端離開木板？
（3）木板從開始運(yùn)動到最后停在斜面底端的整過過程中通過路程多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出小物塊與斜面碰撞時的速度，結(jié)合平行四邊形定則得出速度的方向．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出木板開始下滑的加速度，結(jié)合平拋運(yùn)動的高度求出運(yùn)動的時間，根據(jù)速度時間公式求出小物塊與斜面碰撞時斜面的速度，再根據(jù)牛頓第二定律求出碰撞后物塊和木板的加速度，抓住速度相等，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式求出運(yùn)動的時間，結(jié)合位移公式求出木板的至少長度．
（3）根據(jù)位移公式求出小物塊平拋運(yùn)動過程中木板下滑的位移，結(jié)合位移關(guān)系求出兩者相碰到離開的時間，結(jié)合位移公式求出木板的位移，根據(jù)功能關(guān)系求出木板在斜面上的路程，從而得出總路程．

解答 解：（1）小物塊平拋，根據(jù)動能定理得，mgh=$\frac{1}{2}$mv_t²-$\frac{1}{2}$mv₀²
代入數(shù)據(jù)解得：v_t=5m/s．
sinθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{t}}=\frac{3}{5}$，解得：θ=37^°，即速度方向與斜面垂直．
（2）小物塊平拋：h=$\frac{1}{2}$gt₁²---------------------------------------------------①
木板下滑：Mgsinα-μMgcosα=Ma-------------------------------------②
v=at₁-----------------------------------------------------------③
解①②③得：a=2m/s² t₁=0.4s   v=0.8m/s
小物塊掉到木板上后速度變?yōu)?，然后向下運(yùn)動，直到與木板速度相同過程：
小物塊：mgsinα=ma₁----------------------------------------------------④
木  板：Mgsinα-μ（M+m）gcosα=Ma₂----------------------------------⑤
速度相同時：a₁△t=v+a₂△t--------------------------------------------⑥
解④⑤⑥得：a₁=6 m/s²，a₂=$\frac{2}{3}$ m/s²，△t=0.15s．
L_min=v△t+$\frac{1}{2}$a₂△t²-$\frac{1}{2}$a₁△t²=0.06m．
（3）小物塊平拋過程木板下移：x₁=$\frac{1}{2}$v t₁=$\frac{1}{2}×0.8×0.4m$=0.16m，
兩者相碰到小物塊離開：x₂=$\frac{1}{2}$a₁t₂²=v t₂+$\frac{1}{2}$a₂ t₂²
代入數(shù)據(jù)解得：t₂=0.3s   x₂=0.27m
此時木板速度：v₂=v+a₂ t₂=$0.8+\frac{2}{3}×0.3m/s$=1m/s，
木板與擋板碰后全程生熱：
Q=μMgcosα•S=$\frac{1}{2}$Mv₂²，
代入數(shù)據(jù)解得：S=0.125m．
可見木板在斜面上通過路程：
S_總=x₁+x₂+S=0.16+0.27+0.125m=0.555m．
答：（1）碰前瞬間小物塊速度大小為5m/s，方向與斜面垂直．
（2）木板至少為0.06m小物塊才沒有從木板后端離開木板．
（3）木板從開始運(yùn)動到最后停在斜面底端的整過過程中通過路程為0.555m．

點(diǎn)評 本題考查了平拋運(yùn)動和勻變速直線運(yùn)動的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵理清物塊和木板在整個過程中的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式綜合求解，難度中等．