Question

9．激流勇進(jìn)是游樂(lè)園常有的機(jī)動(dòng)游樂(lè)項(xiàng)目．其工作原理是由主動(dòng)輪將游船沿較長(zhǎng)的傾斜軌道提升至一定高度，然后船只從高處滑下，沖入水中，濺起很高且美麗的水花，整個(gè)過(guò)程刺激又有趣．其工作過(guò)程可以簡(jiǎn)化為如下情景：如圖所示，左側(cè)傾角α=30°的軌道AB（其長(zhǎng)L₁=30m）上相互間隔安裝著主動(dòng)輪，主動(dòng)輪與游船間的動(dòng)摩擦因數(shù)u₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；右側(cè)傾角β=53°的軌道CD（其長(zhǎng)L₂=20m）上相互間隔安裝著導(dǎo)向輪（不會(huì)提供動(dòng)力），導(dǎo)向輪與游船間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為u₂=$\frac{41}{72}$；左右兩側(cè)軌道通過(guò)一段平滑軌道BC（其長(zhǎng)L₃=3m）相連，兩相鄰主動(dòng)輪（或?qū)�向輪）間的距離s₀=1m．長(zhǎng)為L(zhǎng)₀=2m的游船上坐著兩個(gè)游客，總質(zhì)量為180kg，從左側(cè)軌道如圖所示的位置由靜止開(kāi)始被主動(dòng)輪帶動(dòng)向上運(yùn)動(dòng)（主動(dòng)輪的半徑r=0.2m，恒定的角速度ω=10rad/s），達(dá)恒定的速率后，一直以此速率運(yùn)動(dòng)到游船尾部剛好與右側(cè)軌道的上端C點(diǎn)平齊的位置，之后在導(dǎo)向輪上向下滑動(dòng)．已知g=10m/s²，sin 53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）游船從軌道左側(cè)運(yùn)動(dòng)到右側(cè)底端（船頭剛好觸及水面）所用總時(shí)間；
（2）動(dòng)力裝置在游船達(dá)到恒定速率前后（沒(méi)有到達(dá)BC軌道）需增加的功率之比．

Answer 1

分析 （1）游船向上的運(yùn)動(dòng)有兩段：先向上做加速運(yùn)動(dòng)，然后做勻速運(yùn)動(dòng)，向由牛頓第二定律求出游船的加速度，然后由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出向上加速的時(shí)間和位移，再由位移關(guān)系求出勻速運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間；最后由牛頓第二定律求出游船向下加速的時(shí)間，求出三段時(shí)間的和即可；
（2）由瞬時(shí)功率的表達(dá)式分別寫(xiě)出動(dòng)力裝置在游船達(dá)到恒定速率前后（沒(méi)有到達(dá)BC軌道）需增加的功率，再求出它們的比值即可．

解答 解：（1）游船向上加速的過(guò)程中設(shè)加速度為a₁，由牛頓第二定律得：
μ₁mgcos30°-mgsin30°=ma₁
代入數(shù)據(jù)得：a₁=2.5m/s²
從靜止至游船的速度與主動(dòng)輪的速度相等的時(shí)間t₁，向上的位移為x₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式有：v=a₁t₁
主動(dòng)輪的線(xiàn)速度：v=rω=0.2×10=2m/s
聯(lián)立得：t₁=0.8s
又：${x}_{1}=\frac{v}{2}•{t}_{1}=\frac{2}{2}×0.8=0.8$m
游船向上勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)位移：x₂=L₁+L₃-x₁=30+3-0.8=32.2m
勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{v}=\frac{32.2}{2}=16.1$s
游船在右側(cè)的軌道上做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a2，由牛頓第二定律得：
mgsinβ-μ₂mgcosβ=ma₂
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{2}=\frac{55}{12}m/{s}^{2}$
設(shè)加速的時(shí)間為t3，游船在右側(cè)的軌道是發(fā)生的位移：${L}_{2}-{L}_{0}=v{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{3}^{2}$
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立得：t₃=2.4s
所以總時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃=0.8s+16.1s+2.4s=19.3s
（2）游船到達(dá)恒定的速率前，動(dòng)力裝置增加的功率為：P₁=f₁v=（μ₁mgcosα）•v
游船到達(dá)恒定的速率后動(dòng)力裝置提供的功率為：P₂=f₂v=mgsinα•v
所以動(dòng)力裝置在游船達(dá)到恒定速率前后（沒(méi)有到達(dá)BC軌道）需增加的功率之比為：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}=\frac{{μ}_{1}cosα}{sinα}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×cos30°}{sin30°}=\frac{3}{2}$
答：（1）游船從軌道左側(cè)運(yùn)動(dòng)到右側(cè)底端（船頭剛好觸及水面）所用總時(shí)間是19.3s；
（2）動(dòng)力裝置在游船達(dá)到恒定速率前后（沒(méi)有到達(dá)BC軌道）需增加的功率之比是$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 該題雖然看似提供的情景比較新穎，但屬于傳送帶問(wèn)題，抓住游船向上的運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)分成加速階段和勻速階段兩段，然后分別使用各自的公式進(jìn)行解答是關(guān)鍵．