Question

2．回旋加速器被廣泛應(yīng)用于料學(xué)研究和醫(yī)學(xué)設(shè)備中．醫(yī)院里廣泛作為示蹤劑的氮13就是由小型回旋加速器輸出的高速質(zhì)子轟擊氧16獲得的．回旋加速器的核心部分為D形盒，與D形盒盒面垂直的磁場為勻強(qiáng)磁場．某醫(yī)院一回旋加速器的D形盒半徑為R=60cm，兩盒狹縫間距為d=1cm．設(shè)質(zhì)子從粒子源S處進(jìn)入加速電場的初速度不計，加速器接一定頻率的高頻交流電源，其電壓為U=2×10⁴V．當(dāng)質(zhì)子的軌道半徑達(dá)到R=60cm時通過如圖所示的“引出器”把質(zhì)子從D形盒引出，若引出的質(zhì)子流的能量為16.5Mev．已知質(zhì)子質(zhì)量為m=1.67×10^-27kg，電荷量為+e=1.6×10^-19 C，有數(shù)值計算的結(jié)果保留2位有效數(shù)字．求：
（1）D形盒所在處磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）質(zhì)子從靜止開始加速到出口處所需的時間t；
（3）設(shè)每次通過加速電場后，質(zhì)子的偏轉(zhuǎn)軌道半徑增加為△r，試分析隨著通過電場次數(shù)的增加，△r是增大，減小還是不變？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)引出的質(zhì)子流的能量求出粒子出磁場的速度，然后根據(jù)$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$求出磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
（2）不考慮粒子在電場中的時間，根據(jù)粒子在磁場中運(yùn)動一個周期被加速兩次，根據(jù)$2nqU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$求出粒子被加速的圈數(shù)，從而求出質(zhì)子從靜止開始加速到出口處所需的時間t．
（3）求出r_k所對應(yīng)的加速次數(shù)和r_k+1所對應(yīng)的加速次數(shù)即可求出它們所對應(yīng)的軌道半徑，然后作差即可求出r_k和r_k+1，從而求出△r_k，運(yùn)用同樣的方法求出△r_k+1，比較△r_k和△r_k+1即可得出答案．

解答 解：（1）引出的質(zhì)子流的能量即質(zhì)子的動能，根據(jù)動能的定義式：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
質(zhì)子出磁場的速度為v₀
${v}_{0}=\sqrt{\frac{2{E}_{k}}{m}}=5.62×1{0}^{7}$m/s    ①
根據(jù)洛侖茲力提供向心力，得：$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$    ②
聯(lián)立①②解得：B=0.978 T
（2）設(shè)質(zhì)子從靜止開始加速到出口處被加速了n圈，質(zhì)子在出口處的速度為v₀
 $2nqU=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$     ③
$T=\frac{2πm}{qB}$         ④
t=nT             ⑤
 聯(lián)立②③④⑤解得  $t=\frac{πB{R}^{2}}{2U}$
代入數(shù)據(jù)得：t=2.76×10^-5s    
（3）（方法1）設(shè)k為同一盒子中質(zhì)子運(yùn)動軌道半徑的序數(shù)，相鄰的軌道半徑分別為r_k，r_k+1（r_k＜r_k+1），△r_k=r_k+1-r_k，在相應(yīng)軌道上質(zhì)子對應(yīng)的速度大小分別為v_k，v_k+1，D₁、D₂之間的電壓為U，由動能定理知$2qU=\frac{1}{2}mv_{k+1}^2-\frac{1}{2}mv_k^2$…⑦
由洛倫茲力充當(dāng)質(zhì)子做圓周運(yùn)動的向心力，知${r_k}=\frac{{m{v_k}}}{qB}$，則$2qU=\frac{{{q^2}{B^2}}}{2m}（r_{k+1}^2-r_k^2）$⑧
整理得 $△{r_k}=\frac{4mU}{{q{B^2}（{r_{k+1}}+{r_k}）}}$…⑨
相鄰軌道半徑r_k+1，r_k+2之差△r_k+1=r_k+2-r_k+1
同理 $△{r_{k+1}}=\frac{4mU}{{q{B^2}（{r_{k+2}}+{r_{k+1}}）}}$
因U、q、m、B均為定值，且因?yàn)閞_k+2＞r_k，比較△r_k與△r_k+1得△r_k+1＜△r_k．
（方法2）設(shè)k為同一盒子中質(zhì)子運(yùn)動軌道半徑的序數(shù)，相鄰的軌道半徑分別為r_k-1、r_k、r_k+1，（r_k-1＜r_k＜r_k+1）．
由$2kqU=\frac{1}{2}m{v_k}^2$ 及 $q{v_k}B=m\frac{v_k^2}{r_k}$ 得 ${r_k}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU}{q}}\sqrt{k}$
得$△{r_k}_{-1}={r_k}-{r_{k-1}}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU}{q}}（\sqrt{k}-\sqrt{k-1}）$$△{r_k}={r_{k+1}}-{r_k}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mU}{q}}（\sqrt{k+1}-\sqrt{k}）$
假設(shè)$（\sqrt{k}-\sqrt{k-1}）$＞$（\sqrt{k+1}-\sqrt{k}）$有$2\sqrt{k}＞\sqrt{k+1}+\sqrt{k-1}$
兩邊平方得$k＞\sqrt{{k^2}-1}$結(jié)果正確，說明假設(shè)成立．
所以△r_k-1＞△r_k．
答：（1）D形盒所在處磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度是0.978 T；
（2）質(zhì)子從靜止開始加速到出口處所需的時間是2.76×10^-5s；
（3）設(shè)每次通過加速電場后，質(zhì)子的偏轉(zhuǎn)軌道半徑增加為△r，試分析隨著通過電場次數(shù)的增加，△r是減�。�

點(diǎn)評 該題基于回旋加速器的原理考查帶電粒子在磁場中的運(yùn)動，本題的難點(diǎn)是（3），要求△r_k需要知道r_k和r_k+1，同理算出△r_k+1，對△r_k和△r_k+1，即可得出答案．