Question

20．單色細光束射到一半徑為R的透明球表面，光束在過球心的平面內(nèi)，入射角i=45°．該光束經(jīng)折射進入球內(nèi)后又經(jīng)其內(nèi)表面反射一次，再經(jīng)球表面折射后射出．已知真空中光速為c，入射光線與出射光線之間的夾角α=30°，如圖所示（圖上已畫出入射光線和出射光線）．
（1）在圖上畫出光線在球內(nèi)的路徑和方向（簡要說明畫圖步驟）；
（2）求透明球的折射率和光在透明球中傳播的時間．

Answer 1

分析 （1）光線從入射到出射的光路如下圖所示．入射光線AB經(jīng)玻璃折射后，折射光線為BC，又經(jīng)球內(nèi)壁反射后，反射光線為CD，再經(jīng)折射后，折射出的光線為DE．OB、OD為球的半球，即為法線．作出光路圖．
（2）根據(jù)幾何知識和對稱性求出折射角r，由折射定律求出折射率n．由幾何關(guān)系求出光在透明球中傳播的距離，由v=$\frac{c}{n}$求出光在透明球中傳播的速度，再由t=$\frac{L}{v}$求傳播的時間．

解答 解：（1）作入射光線與出射光線之間的夾角為α的角平分線，該角平分線過球心O，與球面交于C點．入射點A和該角平分線與球面交點C的連線為光線在球內(nèi)的路徑，從C點反射后沿CB連線從B點射出，如圖所示．
（2）由幾何關(guān)系及對稱性，有：r=$\frac{α}{2}$+（i-r）
解得：r=30°
由折射定律得：n=$\frac{sini}{sinr}$=$\sqrt{2}$
由幾何關(guān)系得：AC=BC=2Rcosr=2R•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$R
光在透明球中傳播路程為：L=2$\sqrt{3}$R
傳播速度為：v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c
傳播時間為：t=$\frac{L}{v}$=$\frac{2\sqrt{6}R}{c}$
答：（1）在圖上畫出光線在球內(nèi)的路徑和方向如圖所示．
（2）透明球的折射率是$\sqrt{2}$，光在透明球中傳播的時間是$\frac{2\sqrt{6}R}{c}$．

點評 本題是幾何光學問題，作出光路圖是解題的基礎(chǔ)，同時要善于運用幾何關(guān)系分析光線的偏折角與折射角和入射角的關(guān)系．