Question

16．太陽(yáng)系中除了有八大行星外，還有許多圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的小行星，其中一顆名叫“谷神”的小行星，“谷神”的質(zhì)量為m，距離太陽(yáng)中心的距離為r，若已知太陽(yáng)的半徑為R，太陽(yáng)表面處的重力加速度為g，“谷神”星圍繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的角速度為ω．則“谷神”星所受太陽(yáng)對(duì)它的萬(wàn)有引力大小為（　　）

• A． 0
• B． mω²r
• C． $\frac{g{R}^{2}m}{{r}^{2}}$
• D． m$\root{3}{g{R}^{2}{ω}^{4}}$

Answer 1

分析 “谷神”星的軌道半徑為r．根據(jù)太陽(yáng)的半徑和太陽(yáng)表面的重力加速度，由重力等于萬(wàn)有引力，可求出太陽(yáng)的質(zhì)量．由向心力公式求解向心力．

解答 解：“谷神”星軌道半徑為r，則根據(jù)向心力公式得：
太陽(yáng)對(duì)行星的引力大小為：$F=m{ω}_{\;}^{2}r$①
該行星所受太陽(yáng)的萬(wàn)有引力為：F=G$\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$②
在太陽(yáng)表面，重力等于萬(wàn)有引力$m′g=G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$③
聯(lián)立②③得$F=\frac{g{R}_{\;}^{2}m}{{r}_{\;}^{2}}$④
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，得$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$，得$r=\root{3}{\frac{GM}{{ω}_{\;}^{2}}}$⑤
⑤代入①：$F=m{ω}_{\;}^{2}r$=$m{ω}_{\;}^{2}\root{3}{\frac{GM}{{ω}_{\;}^{2}}}$=$m\root{3}{g{R}_{\;}^{2}{ω}_{\;}^{4}}$⑥
故BCD正確，A錯(cuò)誤；
故選：BCD

點(diǎn)評(píng) 本題為衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的典型題型，抓住萬(wàn)有引力等于向心力、萬(wàn)有引力等于重力，再根據(jù)向心力的基本公式求解，解題過(guò)程中要注意黃金代換式的應(yīng)用．